а) Апофемой пирамиды называется расстояние от её вершины до центра основания. Для правильной треугольной пирамиды апофема равна а√3, где a – длина ребра пирамиды.
Таким образом, апофема этой пирамиды равна a√3.
б) Угол между боковой гранью и основанием пирамиды можно найти, используя теорему косинусов для треугольника с ребром пирамиды, апофемой и радиусом описанной около основания окружности:
cos(θ) = (a^2 + a^2 – (2a)^2) / (2a * a) = (a^2 + a^2 – 4a^2) / (2a * a) = -2a^2 / (2a * a) = -2a / (2a) = -1
cos(θ) = -1
Таким образом, угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 180°.
в) Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу S = (периметр основания * апофема) / 2. Для правильной треугольной пирамиды периметр основания равен 3a, а апофема равна a√3. Подставляем значения в формулу:
S = (3a * a√3) / 2 = 3a^2√3 / 2
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна 3a^2√3 / 2.
г) Плоский угол при вершине пирамиды равен 360° минус сумма углов при основании пирамиды. Для правильной треугольной пирамиды углы при основании равны по 60° (так как основание – это правильный треугольник). Таким образом, плоский угол при вершине пирамиды равен 360° – (60° + 60° + 60°) = 360° – 180° = 180°.