Для начала определимся с обозначениями. Пусть ABC – основание пирамиды, H – ее высота, DEFG – проекция вершины пирамиды на плоскость основания. Пусть M и N – точки, где лучи BM и BN пересекают плоскость ABC. Длина отрезка MN равна периметру основания пирамиды.
Рассмотрим прямоугольный треугольник DNC. Угол CND равен 60°, поскольку угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°. Треугольник DNC – прямоугольный, поскольку треугольная пирамида является правильной. Также треугольник ADC – равнобедренный, поскольку AD = CD, ведь треугольник ABC – равносторонний.
Используя эти свойства, можно найти DE и ND. Поскольку треугольник ADC равнобедренный, то AN является медианой треугольника ADC, а значит, делит его высоту в отношении 2:1. Поэтому ND = 2 NH. Также треугольники DNС и NDE подобны, поэтому:
DN / ND = NC / DE,
или
1 / 2 = 12 дм / DE.
Отсюда находим DE:
DE = 24 дм.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CNF. У него противолежащий катет CN равен 12 дм, а угол CNF равен 60°. Пользуясь этим, можно найти FC и NF:
FC = CN * tg(60°) = 12 дм * √3,
NF = CN * sin(60°) = 12 дм * 1/2 = 6 дм.
Так как треугольники DNF и FCG подобны, можно использовать их для нахождения FG:
NF / FC = FG / CG,
или
6 дм / (12 дм * √3) = FG / CG.
Отсюда:
FG = CG * (3 / 2√3),
так как FG равно периметру основания пирамиды, найдем CG:
CG = FG * (2√3 / 3) = 12 дм * (2√3 / 3) = 8√3 дм.
Таким образом, периметр основания пирамиды равен 8√3 дм.