y = 10/(1+sin(x)^(2))

$$f{left (x right )} = frac{10}{sin^{2}{left (x right )} + 1}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$frac{10}{sin^{2}{left (x right )} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 10/(1 + sin(x)^2).
$$frac{10}{sin^{2}{left (0 right )} + 1}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 10$$
Точка:

(0, 10)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{pi}{2}$$
$$x_{3} = pi$$
$$x_{4} = frac{3 pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 10)

pi
(–, 5)
2

(pi, 10)

3*pi
(—-, 5)
2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = frac{pi}{2}$$
$$x_{4} = frac{3 pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = pi$$
Убывает на промежутках

[3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2] U [pi, 3*pi/2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – 2 {atan}{left (sqrt{4 + sqrt{17} + 2 sqrt{2} sqrt{4 + sqrt{17}}} right )}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (sqrt{4 + sqrt{17} + 2 sqrt{2} sqrt{4 + sqrt{17}}} right )}$$
$$x_{3} = – 2 {atan}{left (sqrt{- 2 sqrt{2} sqrt{4 + sqrt{17}} + 4 + sqrt{17}} right )}$$
$$x_{4} = 2 {atan}{left (sqrt{- 2 sqrt{2} sqrt{4 + sqrt{17}} + 4 + sqrt{17}} right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2*atan(sqrt(4 + sqrt(17) + 2*sqrt(2)*sqrt(4 + sqrt(17)))), -2*atan(sqrt(-2*sqrt(2)*sqrt(4 + sqrt(17)) + 4 + sqrt(17)))] U [2*atan(sqrt(-2*sqrt(2)*sqrt(4 + sqrt(17)) + 4 + sqrt(17))), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(4 + sqrt(17) + 2*sqrt(2)*sqrt(4 + sqrt(17))))]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{10}{sin^{2}{left (x right )} + 1}right) = langle 5, 10rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle 5, 10rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 10/(1 + sin(x)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{10}{x left(sin^{2}{left (x right )} + 1right)}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$frac{10}{sin^{2}{left (x right )} + 1} = frac{10}{sin^{2}{left (x right )} + 1}$$
– Да
$$frac{10}{sin^{2}{left (x right )} + 1} = – frac{10}{sin^{2}{left (x right )} + 1}$$
– Нет
значит, функция
является
чётной