Дано

$$f{left (x right )} = cos{left (3 x right )} + 2$$
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$cos{left (3 x right )} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2 + cos(3*x).
$$cos{left (0 cdot 3 right )} + 2$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = frac{pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 3)

pi
(–, 1)
3

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi/3, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi/3]

Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{6}$$
$$x_{2} = frac{pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/6, pi/2]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/6] U [pi/2, oo)

Горизонтальные асимптоты
Читайте также  y = (1-3*x)^(1/3)/(x+5)
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(cos{left (3 x right )} + 2right) = langle 1, 3rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle 1, 3rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2 + cos(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(cos{left (3 x right )} + 2right)right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$cos{left (3 x right )} + 2 = cos{left (3 x right )} + 2$$
– Да
$$cos{left (3 x right )} + 2 = – cos{left (3 x right )} – 2$$
– Нет
значит, функция
является
чётной
   
5.0
Iri5
Опыт выполнения студенческих работ с 2005 года. Юриспруденциия (контрольные, рефераты, курсовые, дипломные работы, отчеты по практике, задачи по всем отраслям права). Психология (рефераты, контрольные, эссе, курсовые).