y = 3^cos(x)

$$f{left (x right )} = 3^{cos{left (x right )}}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3^{cos{left (x right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 3^cos(x).
$$3^{cos{left (0 right )}}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 3)

(pi, 1/3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – 2 {atan}{left (sqrt{- log{left (9 right )} + sqrt{1 + 4 log^{2}{left (3 right )}}} right )}$$
$$x_{2} = 2 {atan}{left (sqrt{- log{left (9 right )} + sqrt{1 + 4 log^{2}{left (3 right )}}} right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(-log(9) + sqrt(1 + 4*log(3)**2)))] U [2*atan(sqrt(-log(9) + sqrt(1 + 4*log(3)**2))), oo)

Выпуклая на промежутках

[-2*atan(sqrt(-log(9) + sqrt(1 + 4*log(3)**2))), 2*atan(sqrt(-log(9) + sqrt(1 + 4*log(3)**2)))]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} 3^{cos{left (x right )}} = 3^{langle -1, 1rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 3^{langle -1, 1rangle}$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3^cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} 3^{cos{left (x right )}}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3^{cos{left (x right )}} = 3^{cos{left (x right )}}$$
– Да
$$3^{cos{left (x right )}} = – 3^{cos{left (x right )}}$$
– Нет
значит, функция
является
чётной