log(x+4)*1/log(49)+log(sqrt(7))*1/log(x^2+8*x+16)

$$frac{log{left (x + 4 right )}}{log{left (49 right )}} + frac{log{left (sqrt{7} right )}}{log{left (x^{2} + 8 x + 16 right )}} leq – frac{3}{4}$$

Дано неравенство:
$$frac{log{left (x + 4 right )}}{log{left (49 right )}} + frac{log{left (sqrt{7} right )}}{log{left (x^{2} + 8 x + 16 right )}} leq – frac{3}{4}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{log{left (x + 4 right )}}{log{left (49 right )}} + frac{log{left (sqrt{7} right )}}{log{left (x^{2} + 8 x + 16 right )}} = – frac{3}{4}$$
Решаем:
$$x_{1} = – frac{27}{7}$$
$$x_{2} = -4 + frac{sqrt{7}}{7}$$
$$x_{1} = – frac{27}{7}$$
$$x_{2} = -4 + frac{sqrt{7}}{7}$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{27}{7}$$
$$x_{2} = -4 + frac{sqrt{7}}{7}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{277}{70}$$
=
$$- frac{277}{70}$$
подставляем в выражение
$$frac{log{left (x + 4 right )}}{log{left (49 right )}} + frac{log{left (sqrt{7} right )}}{log{left (x^{2} + 8 x + 16 right )}} leq – frac{3}{4}$$
$$frac{log{left (- frac{277}{70} + 4 right )}}{log{left (49 right )}} + frac{log{left (sqrt{7} right )}}{log{left (frac{-2216}{70} 1 + left(- frac{277}{70}right)^{2} + 16 right )}} leq – frac{3}{4}$$

/ ___
log/ 7 / -log(70) + log(3)
——————- + —————– <= -3/4 -log(4900) + log(9) log(49)

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq – frac{27}{7}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq – frac{27}{7}$$
$$x geq -4 + frac{sqrt{7}}{7}$$

$$left(-4 + frac{sqrt{7}}{7} leq x wedge x < -3right) vee x = - frac{27}{7}$$

___
/ 7
{-27/7} U [-4 + —–, -3)
7

$$x in left{- frac{27}{7}right} cup left[-4 + frac{sqrt{7}}{7}, -3right)$$