y = -3*cos(x)-1

$$f{left (x right )} = – 3 cos{left (x right )} – 1$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 cos{left (x right )} – 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – {acos}{left (- frac{1}{3} right )} + 2 pi$$
$$x_{2} = {acos}{left (- frac{1}{3} right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 52.1761156937$$
$$x_{2} = 35.7884786068$$
$$x_{3} = 71.0256716152$$
$$x_{4} = -83.5920422296$$
$$x_{5} = 67.2044051427$$
$$x_{6} = -96.1584128439$$
$$x_{7} = 54.6380345284$$
$$x_{8} = 1.91063323625$$
$$x_{9} = -35.7884786068$$
$$x_{10} = -33.3265597721$$
$$x_{11} = -48.3548492212$$
$$x_{12} = 79.7707757571$$
$$x_{13} = -29.5052932996$$
$$x_{14} = 33.3265597721$$
$$x_{15} = 23.2221079925$$
$$x_{16} = 58.4593010009$$
$$x_{17} = 77.3088569224$$
$$x_{18} = 155.168999443$$
$$x_{19} = -23.2221079925$$
$$x_{20} = 8.19381854343$$
$$x_{21} = -27.043374465$$
$$x_{22} = -64.742486308$$
$$x_{23} = -20.7601891578$$
$$x_{24} = 92.3371463714$$
$$x_{25} = 86.0539610643$$
$$x_{26} = -39.6097450793$$
$$x_{27} = 96.1584128439$$
$$x_{28} = -58.4593010009$$
$$x_{29} = -86.0539610643$$
$$x_{30} = -4.37255207093$$
$$x_{31} = -92.3371463714$$
$$x_{32} = -60.9212198355$$
$$x_{33} = 14.4770038506$$
$$x_{34} = -73.4875904499$$
$$x_{35} = 89.8752275368$$
$$x_{36} = 73.4875904499$$
$$x_{37} = 48.3548492212$$
$$x_{38} = 42.071663914$$
$$x_{39} = -77.3088569224$$
$$x_{40} = 20.7601891578$$
$$x_{41} = -71.0256716152$$
$$x_{42} = 16.9389226853$$
$$x_{43} = -52.1761156937$$
$$x_{44} = -89.8752275368$$
$$x_{45} = -10.6557373781$$
$$x_{46} = -7726.40729459$$
$$x_{47} = -971.983089377$$
$$x_{48} = -79.7707757571$$
$$x_{49} = -67.2044051427$$
$$x_{50} = 98.6203316786$$
$$x_{51} = 27.043374465$$
$$x_{52} = 64.742486308$$
$$x_{53} = -54.6380345284$$
$$x_{54} = 60.9212198355$$
$$x_{55} = 10.6557373781$$
$$x_{56} = -42.071663914$$
$$x_{57} = -14.4770038506$$
$$x_{58} = 39.6097450793$$
$$x_{59} = 3426.24662565$$
$$x_{60} = 83.5920422296$$
$$x_{61} = -45.8929303865$$
$$x_{62} = -8.19381854343$$
$$x_{63} = 4.37255207093$$
$$x_{64} = 29.5052932996$$
$$x_{65} = 45.8929303865$$
$$x_{66} = -98.6203316786$$
$$x_{67} = -16.9389226853$$
$$x_{68} = -1.91063323625$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -3*cos(x) – 1.
$$- 3 cos{left (0 right )} – 1$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = -4$$
Точка:

(0, -4)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -4)

(pi, 2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = pi$$
Убывает на промежутках

[0, pi]

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(- 3 cos{left (x right )} – 1right) = langle -4, 2rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle -4, 2rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -3*cos(x) – 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(- 3 cos{left (x right )} – 1right)right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 3 cos{left (x right )} – 1 = – 3 cos{left (x right )} – 1$$
– Да
$$- 3 cos{left (x right )} – 1 = – -1 cdot 3 cos{left (x right )} + 1$$
– Нет
значит, функция
является
чётной