y = (exp(x)^(1/2))/x

$$f{left (x right )} = frac{sqrt{e^{x}}}{x}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(exp(x))/x.
$$frac{sqrt{e^{0}}}{0}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = tilde{infty}$$
зн.f не пересекает Y

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

E
(2, -)
2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 2]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{sqrt{e^{x}}}{x}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(exp(x))/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{e^{frac{x}{2}}}{x^{2}}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$frac{sqrt{e^{x}}}{x} = – frac{e^{- frac{x}{2}}}{x}$$
– Нет
$$frac{sqrt{e^{x}}}{x} = – frac{1}{x} left(-1 e^{- frac{x}{2}}right)$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной