y = log(4-x^2)

$$f{left (x right )} = log{left (- x^{2} + 4 right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$log{left (- x^{2} + 4 right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – sqrt{3}$$
$$x_{2} = sqrt{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(4 – x^2).
$$log{left (- 0 + 4 right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = log{left (4 right )}$$
Точка:

(0, log(4))

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, log(4))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} log{left (- x^{2} + 4 right )} = infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(4 – x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} log{left (- x^{2} + 4 right )}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$log{left (- x^{2} + 4 right )} = log{left (- x^{2} + 4 right )}$$
– Да
$$log{left (- x^{2} + 4 right )} = – log{left (- x^{2} + 4 right )}$$
– Нет
значит, функция
является
чётной