y = sign(x^2+1)

$$f{left (x right )} = {sign}{left (x^{2} + 1 right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$${sign}{left (x^{2} + 1 right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sign(x^2 + 1).
$${sign}{left (0^{2} + 1 right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 0^{2} + 1$$
Точка:

(0, 0^2 + 1)

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} {sign}{left (x^{2} + 1 right )} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sign(x^2 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} {sign}{left (x^{2} + 1 right )}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$${sign}{left (x^{2} + 1 right )} = {sign}{left (x^{2} + 1 right )}$$
– Да
$${sign}{left (x^{2} + 1 right )} = – {sign}{left (x^{2} + 1 right )}$$
– Нет
значит, функция
является
чётной