На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
значит надо решить уравнение:
$$sin^{3}{left (x right )} – sin^{2}{left (x right )} – sin{left (x right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = pi$$
$$x_{3} = – {asin}{left (- frac{sqrt{5}}{2} + frac{1}{2} right )} + pi$$
$$x_{4} = {asin}{left (- frac{sqrt{5}}{2} + frac{1}{2} right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 74.7319842537$$
$$x_{2} = -94.2477796077$$
$$x_{3} = 31.4159265359$$
$$x_{4} = -649.643439861$$
$$x_{5} = -25.7989806612$$
$$x_{6} = 81.6814089933$$
$$x_{7} = 84.8230016469$$
$$x_{8} = 54.0733145435$$
$$x_{9} = -53.407075111$$
$$x_{10} = -87.9645943005$$
$$x_{11} = 65.9734457254$$
$$x_{12} = -12.5663706144$$
$$x_{13} = 16.3742027004$$
$$x_{14} = 99.8647254824$$
$$x_{15} = 41.5069439292$$
$$x_{16} = 50.2654824574$$
$$x_{17} = -3.14159265359$$
$$x_{18} = -71.5903916001$$
$$x_{19} = 40.8407044967$$
$$x_{20} = -59.6902604182$$
$$x_{21} = 18.183316489$$
$$x_{22} = 37.6991118431$$
$$x_{23} = 60.3564998507$$
$$x_{24} = -43.9822971503$$
$$x_{25} = -40.1744650642$$
$$x_{26} = 28.2743338823$$
$$x_{27} = 47.7901292363$$
$$x_{28} = -81.6814089933$$
$$x_{29} = -69.7812778115$$
$$x_{30} = 11.9001311819$$
$$x_{31} = 87.9645943005$$
$$x_{32} = 78.5398163397$$
$$x_{33} = 68.4487989465$$
$$x_{34} = -272.65232143$$
$$x_{35} = -100.530964915$$
$$x_{36} = -84.1567622144$$
$$x_{37} = 91.7724263866$$
$$x_{38} = 72.2566310326$$
$$x_{39} = -57.2149071971$$
$$x_{40} = -6.28318530718$$
$$x_{41} = 55.8824283321$$
$$x_{42} = 6.28318530718$$
$$x_{43} = 75.3982236862$$
$$x_{44} = -65.9734457254$$
$$x_{45} = -38.3653512756$$
$$x_{46} = 62.1656136393$$
$$x_{47} = 98.0556116938$$
$$x_{48} = -2.4753532211$$
$$x_{49} = -90.4399475216$$
$$x_{50} = -19.515795354$$
$$x_{51} = -29241.9444196$$
$$x_{52} = -50.2654824574$$
$$x_{53} = 3.80783208608$$
$$x_{54} = -56.5486677646$$
$$x_{55} = 30.7496871034$$
$$x_{56} = -13.2326100469$$
$$x_{57} = 24.4665017962$$
$$x_{58} = -27.6080944498$$
$$x_{59} = -47.1238898038$$
$$x_{60} = -76.0644631186$$
$$x_{61} = -82.3476484258$$
$$x_{62} = 10.0910173933$$
$$x_{63} = -32.0821659684$$
$$x_{64} = 49.5992430249$$
$$x_{65} = -21.9911485751$$
$$x_{66} = -37.6991118431$$
$$x_{67} = -97.3893722613$$
$$x_{68} = 94.2477796077$$
$$x_{69} = 34.5575191895$$
$$x_{70} = -40243.8018925$$
$$x_{71} = -9.42477796077$$
$$x_{72} = 21.9911485751$$
$$x_{73} = -46.4576503714$$
$$x_{74} = -77.8735769073$$
$$x_{75} = 0$$
$$x_{76} = 43.9822971503$$
$$x_{77} = -33.891279757$$
$$x_{78} = -63.4980925043$$
$$x_{79} = 85.4892410794$$
$$x_{80} = -15.7079632679$$
$$x_{81} = -517.69654841$$
подставляем x = 0 в sin(x)^3 – sin(x)^2 – sin(x).
$$sin^{3}{left (0 right )} – sin^{2}{left (0 right )} – sin{left (0 right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = frac{pi}{2}$$
$$x_{3} = – 2 {atan}{left (- 2 sqrt{2} + 3 right )}$$
$$x_{4} = – 2 {atan}{left (2 sqrt{2} + 3 right )}$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi
(—-, -1)
2
pi
(–, -1)
2
/ ___ 2/ / ___ 3/ / ___ / / ___
(-2*atan3 – 2*/ 2 /, – sin 2*atan3 – 2*/ 2 // – sin 2*atan3 – 2*/ 2 // + sin2*atan3 – 2*/ 2 //)
/ ___ 2/ / ___ 3/ / ___ / / ___
(-2*atan3 + 2*/ 2 /, – sin 2*atan3 + 2*/ 2 // – sin 2*atan3 + 2*/ 2 // + sin2*atan3 + 2*/ 2 //)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = – frac{pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = – 2 {atan}{left (- 2 sqrt{2} + 3 right )}$$
$$x_{4} = – 2 {atan}{left (2 sqrt{2} + 3 right )}$$
Убывает на промежутках
(-oo, -2*atan(2*sqrt(2) + 3)] U [-pi/2, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, -pi/2] U [-2*atan(-2*sqrt(2) + 3), oo)
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = – 2 {atan}{left (- frac{5}{4} + frac{sqrt{2}}{4} sqrt{- 5 sqrt{97} + 53} + frac{sqrt{97}}{4} right )}$$
$$x_{3} = 2 {atan}{left (frac{5}{4} + frac{sqrt{97}}{4} + frac{sqrt{2}}{4} sqrt{5 sqrt{97} + 53} right )}$$
$$x_{4} = 2 {atan}{left (- frac{sqrt{97}}{4} + frac{sqrt{2}}{4} sqrt{- 5 sqrt{97} + 53} + frac{5}{4} right )}$$
$$x_{5} = 2 {atan}{left (- frac{sqrt{2}}{4} sqrt{5 sqrt{97} + 53} + frac{5}{4} + frac{sqrt{97}}{4} right )}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-2*atan(-5/4 + sqrt(2)*sqrt(-5*sqrt(97) + 53)/4 + sqrt(97)/4), 2*atan(-sqrt(97)/4 + sqrt(2)*sqrt(-5*sqrt(97) + 53)/4 + 5/4)] U [2*atan(-sqrt(2)*sqrt(5*sqrt(97) + 53)/4 + 5/4 + sqrt(97)/4), oo)
Выпуклая на промежутках
(-oo, -2*atan(-5/4 + sqrt(2)*sqrt(-5*sqrt(97) + 53)/4 + sqrt(97)/4)]
$$lim_{x to -infty}left(sin^{3}{left (x right )} – sin^{2}{left (x right )} – sin{left (x right )}right) = langle -3, 2rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle -3, 2rangle$$
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(sin^{3}{left (x right )} – sin^{2}{left (x right )} – sin{left (x right )}right)right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Итак, проверяем:
$$sin^{3}{left (x right )} – sin^{2}{left (x right )} – sin{left (x right )} = – sin^{3}{left (x right )} – sin^{2}{left (x right )} + sin{left (x right )}$$
– Нет
$$sin^{3}{left (x right )} – sin^{2}{left (x right )} – sin{left (x right )} = – -1 sin^{3}{left (x right )} – – sin^{2}{left (x right )} – sin{left (x right )}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
