Для того чтобы доказать, что векторы e1, e2 и e3 образуют базис в пространстве, нам необходимо проверить два условия: линейную независимость и то, что они охватывают всё пространство.
1. Линейная независимость:
Для этого мы должны решить следующую систему линейных уравнений: a * e1 + b * e2 + c * e3 = 0, где a, b и c – коэффициенты, умножающие соответствующие векторы.
Уравнение будет выглядеть следующим образом:
a * (1, 0, 2) + b * (-1, 2, 1) + c * (-1, 2, 1) = (0, 0, 0)
Раскрывая скобки и объединяя одинаковые слагаемые, мы получим:
(a – b – c, 2b + 2c, 2a + b + c) = (0, 0, 0)
Из этой системы уравнений следует, что:
a – b – c = 0
2b + 2c = 0
2a + b + c = 0
Мы можем решить эту систему уравнений и получить a = 1, b = -1, c = -1.
Таким образом, единственное решение этой системы уравнений – это a = b = c = 0. Это означает, что векторы e1, e2 и e3 линейно независимы.
2. Охватывают всё пространство:
Для доказательства, что векторы e1, e2 и e3 охватывают всё пространство, мы должны показать, что любой вектор e4=(x, y, z) может быть представлен в виде линейной комбинации векторов e1, e2 и e3.
Чтобы найти новые координаты вектора e4 в базисе {e1, e2, e3}, мы решаем следующую систему уравнений:
x * e1 + y * e2 + z * e3 = e4
Подставляя значения векторов e1, e2, e3 и e4, мы получаем:
x * (1, 0, 2) + y * (-1, 2, 1) + z * (-1, 2, 1) = (0, 3, 2)
Раскрывая скобки и объединяя одинаковые слагаемые, мы получим:
(x – y – z, 2y + 2z, 2x + y + z) = (0, 3, 2)
Из этой системы уравнений следует, что:
x – y – z = 0
2y + 2z = 3
2x + y + z = 2
Мы можем решить эту систему уравнений и получить x = 1, y = 2, z = -1.
Таким образом, новые координаты вектора e4 в базисе {e1, e2, e3} будут x = 1, y = 2 и z = -1.
В итоге, векторы e1, e2 и e3 образуют базис в пространстве и новые координаты вектора e4 в данном базисе равны x = 1, y = 2 и z = -1.