Для нахождения экстремумов функции f(x) = x^3 + 3x^2 – 2x + 2 будем использовать производные. Сначала найдем первую производную функции f'(x).
1. f'(x) = 3x^2 + 6x – 2
Затем найдем точки, в которых производная равна нулю:
2. 3x^2 + 6x – 2 = 0
Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант D будет равен:
3. D = b^2 – 4ac
где a = 3, b = 6, c = -2.
4. D = 6^2 – 4 * 3 * (-2) = 36 + 24 = 60
Так как D > 0, у нас есть два корня:
5. x1 = (-b + √D) / (2a)
x2 = (-b – √D) / (2a)
6. x1 = (-6 + √60) / (2*3) ≈ -0.205
x2 = (-6 – √60) / (2*3) ≈ -3.128
Подставим найденные значения x вторую производную f”(x) = 6x + 6 и определим тип экстремума в каждой точке.
7. f”(x1) = 6*(-0.205) + 6 ≈ 4.77 > 0 (минимум)
f”(x2) = 6*(-3.128) + 6 ≈ -10.768 < 0 (максимум)
Таким образом, функция f(x) имеет минимум в точке x ≈ -0.205 и максимум в точке x ≈ -3.128.