Производная (1+cos(3*x))/(1-cos(3*x))

$$frac{cos{left (3 x right )} + 1}{- cos{left (3 x right )} + 1}$$

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = cos{left (3 x right )} + 1
   и
   g{left (x right )} = – cos{left (3 x right )} + 1
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. дифференцируем
      cos{left (3 x right )} + 1
      почленно:

      1. Производная постоянной
         1
         равна нулю.

      2. Заменим
         u = 3 x
         .

      3. Производная косинус есть минус синус:

         frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(3 xright)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            Таким образом, в результате:
            3

         В результате последовательности правил:

         – 3 sin{left (3 x right )}

      В результате:
      – 3 sin{left (3 x right )}

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. дифференцируем
      – cos{left (3 x right )} + 1
      почленно:

      1. Производная постоянной
         1
         равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим
            u = 3 x
            .

         2. Производная косинус есть минус синус:

            frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x}left(3 xright)
            :

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим:
                  x
                  получим
                  1

               Таким образом, в результате:
               3

            В результате последовательности правил:

            – 3 sin{left (3 x right )}

         Таким образом, в результате:
         3 sin{left (3 x right )}

      В результате:
      3 sin{left (3 x right )}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{left(- cos{left (3 x right )} + 1right)^{2}} left(- 3 left(- cos{left (3 x right )} + 1right) sin{left (3 x right )} – 3 left(cos{left (3 x right )} + 1right) sin{left (3 x right )}right)

2. Теперь упростим:

   – frac{6 sin{left (3 x right )}}{left(cos{left (3 x right )} – 1right)^{2}}

---

Ответ:

– frac{6 sin{left (3 x right )}}{left(cos{left (3 x right )} – 1right)^{2}}

3*sin(3*x) 3*(1 + cos(3*x))*sin(3*x)
– ———— – ————————-
1 – cos(3*x) 2
(1 – cos(3*x))

$$- frac{3 sin{left (3 x right )}}{- cos{left (3 x right )} + 1} – frac{3 left(cos{left (3 x right )} + 1right) sin{left (3 x right )}}{left(- cos{left (3 x right )} + 1right)^{2}}$$

Вторая производная

/ 2 2
| 2*sin (3*x) (1 + cos(3*x))*cos(3*x) 2*sin (3*x)*(1 + cos(3*x)) |
9*|————- – ———————– – ————————– + cos(3*x)|
|-1 + cos(3*x) -1 + cos(3*x) 2 |
(-1 + cos(3*x)) /
———————————————————————————–
-1 + cos(3*x)

$$frac{1}{cos{left (3 x right )} – 1} left(9 cos{left (3 x right )} – frac{9 left(cos{left (3 x right )} + 1right) cos{left (3 x right )}}{cos{left (3 x right )} – 1} + frac{18 sin^{2}{left (3 x right )}}{cos{left (3 x right )} – 1} – frac{18 left(cos{left (3 x right )} + 1right) sin^{2}{left (3 x right )}}{left(cos{left (3 x right )} – 1right)^{2}}right)$$

Третья производная

/ 2 2
| 1 + cos(3*x) 6*cos(3*x) 6*sin (3*x) 6*sin (3*x)*(1 + cos(3*x)) 6*(1 + cos(3*x))*cos(3*x)|
27*|-1 + ————- + ————- + —————- – ————————– – ————————-|*sin(3*x)
| -1 + cos(3*x) -1 + cos(3*x) 2 3 2 |
(-1 + cos(3*x)) (-1 + cos(3*x)) (-1 + cos(3*x)) /
—————————————————————————————————————————-
-1 + cos(3*x)

$$frac{27 sin{left (3 x right )}}{cos{left (3 x right )} – 1} left(-1 + frac{cos{left (3 x right )} + 1}{cos{left (3 x right )} – 1} + frac{6 cos{left (3 x right )}}{cos{left (3 x right )} – 1} – frac{6 left(cos{left (3 x right )} + 1right) cos{left (3 x right )}}{left(cos{left (3 x right )} – 1right)^{2}} + frac{6 sin^{2}{left (3 x right )}}{left(cos{left (3 x right )} – 1right)^{2}} – frac{6 left(cos{left (3 x right )} + 1right) sin^{2}{left (3 x right )}}{left(cos{left (3 x right )} – 1right)^{3}}right)$$