Производная ((1/x)-1)/(1/x)

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = x left(- x + 1right)
   и
   g{left (x right )} = x
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. Применяем правило производной умножения:

      frac{d}{d x}left(f{left (x right )} g{left (x right )}right) = f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}

      f{left (x right )} = x
      ; найдём
      frac{d}{d x} f{left (x right )}
      :

      1. В силу правила, применим:
         x
         получим
         1

      g{left (x right )} = – x + 1
      ; найдём
      frac{d}{d x} g{left (x right )}
      :

      1. дифференцируем
         – x + 1
         почленно:

         1. Производная постоянной
            1
            равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            Таким образом, в результате:
            -1

         В результате:
         -1

      В результате:
      – 2 x + 1

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. В силу правила, применим:
      x
      получим
      1

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{x^{2}} left(x left(- 2 x + 1right) – x left(- x + 1right)right)

2. Теперь упростим:

   -1

Ответ:

-1

1 x
-1 + – – —
x 2
x

0

0