Производная ((2*n+1)^2+3*n)/((n+5)^(1/2)+(16*n^8-81)^(1/4))

$$frac{3 n + left(2 n + 1right)^{2}}{sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}}$$

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d n}left(frac{f{left (n right )}}{g{left (n right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (n right )}} left(- f{left (n right )} frac{d}{d n} g{left (n right )} + g{left (n right )} frac{d}{d n} f{left (n right )}right)

   f{left (n right )} = 3 n + left(2 n + 1right)^{2}
   и
   g{left (n right )} = sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d n} f{left (n right )}
   :

   1. дифференцируем
      3 n + left(2 n + 1right)^{2}
      почленно:

      1. Заменим
         u = 2 n + 1
         .

      2. В силу правила, применим:
         u^{2}
         получим
         2 u

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d n}left(2 n + 1right)
         :

         1. дифференцируем
            2 n + 1
            почленно:

            1. Производная постоянной
               1
               равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим:
                  n
                  получим
                  1

               Таким образом, в результате:
               2

            В результате:
            2

         В результате последовательности правил:

         8 n + 4

      4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            n
            получим
            1

         Таким образом, в результате:
         3

      В результате:
      8 n + 7

   Чтобы найти
   frac{d}{d n} g{left (n right )}
   :

   1. дифференцируем
      sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}
      почленно:

      1. Заменим
         u = 16 n^{8} – 81
         .

      2. В силу правила, применим:
         sqrt[4]{u}
         получим
         frac{1}{4 u^{frac{3}{4}}}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d n}left(16 n^{8} – 81right)
         :

         1. дифференцируем
            16 n^{8} – 81
            почленно:

            1. Производная постоянной
               -81
               равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим:
                  n^{8}
                  получим
                  8 n^{7}

               Таким образом, в результате:
               128 n^{7}

            В результате:
            128 n^{7}

         В результате последовательности правил:

         frac{32 n^{7}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}}

      4. Заменим
         u = n + 5
         .

      5. В силу правила, применим:
         sqrt{u}
         получим
         frac{1}{2 sqrt{u}}

      6. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d n}left(n + 5right)
         :

         1. дифференцируем
            n + 5
            почленно:

            1. Производная постоянной
               5
               равна нулю.

            2. В силу правила, применим:
               n
               получим
               1

            В результате:
            1

         В результате последовательности правил:

         frac{1}{2 sqrt{n + 5}}

      В результате:
      frac{32 n^{7}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{2 sqrt{n + 5}}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{left(sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}right)^{2}} left(- left(3 n + left(2 n + 1right)^{2}right) left(frac{32 n^{7}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{2 sqrt{n + 5}}right) + left(8 n + 7right) left(sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}right)right)

2. Теперь упростим:

   frac{1}{sqrt{n + 5} left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}} left(sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}right)^{2}} left(sqrt{n + 5} left(8 n + 7right) left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}} left(sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}right) – frac{1}{2} left(3 n + left(2 n + 1right)^{2}right) left(64 n^{7} sqrt{n + 5} + left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}right)right)

---

Ответ:

frac{1}{sqrt{n + 5} left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}} left(sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}right)^{2}} left(sqrt{n + 5} left(8 n + 7right) left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}} left(sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}right) – frac{1}{2} left(3 n + left(2 n + 1right)^{2}right) left(64 n^{7} sqrt{n + 5} + left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}right)right)

/ 7
/ 2 | 1 32*n |
(2*n + 1) + 3*n/*|- ———– – —————|
| _______ 3/4|
| 2*/ n + 5 / 8 |
7 + 8*n 16*n – 81/ /
————————— + —————————————————-
____________ 2
_______ 4 / 8 / ____________
/ n + 5 + / 16*n – 81 | _______ 4 / 8 |
/ n + 5 + / 16*n – 81 /

$$frac{1}{left(sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}right)^{2}} left(3 n + left(2 n + 1right)^{2}right) left(- frac{32 n^{7}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} – frac{1}{2 sqrt{n + 5}}right) + frac{8 n + 7}{sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}}$$

Вторая производная

2
/ 7 / 7 / 6 14
| 1 64*n | / 2 | 1 64*n | / 2 | 1 896*n 12288*n |
|——— + —————-| *(1 + 2*n) + 3*n/ (7 + 8*n)*|——— + —————-| (1 + 2*n) + 3*n/*|———- – —————- + —————-|
| _______ 3/4| | _______ 3/4| | 3/2 3/4 7/4|
|/ 5 + n / 8 | |/ 5 + n / 8 | |(5 + n) / 8 / 8 |
-81 + 16*n / / -81 + 16*n / / -81 + 16*n / -81 + 16*n / /
8 + ————————————————– – —————————————- + ———————————————————————
2 _____________ / _____________
/ _____________ 4 / 8 _______ |4 / 8 _______|
|4 / 8 _______| / -81 + 16*n + / 5 + n 4*/ -81 + 16*n + / 5 + n /
2*/ -81 + 16*n + / 5 + n /
————————————————————————————————————————————————————————-
_____________
4 / 8 _______
/ -81 + 16*n + / 5 + n

$$frac{1}{sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}} left(frac{left(3 n + left(2 n + 1right)^{2}right) left(frac{64 n^{7}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{sqrt{n + 5}}right)^{2}}{2 left(sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}right)^{2}} + frac{1}{4 sqrt{n + 5} + 4 sqrt[4]{16 n^{8} – 81}} left(3 n + left(2 n + 1right)^{2}right) left(frac{12288 n^{14}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{7}{4}}} – frac{896 n^{6}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{left(n + 5right)^{frac{3}{2}}}right) – frac{left(8 n + 7right) left(frac{64 n^{7}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{sqrt{n + 5}}right)}{sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}} + 8right)$$

Третья производная

3 2
/ 13 5 21 / 6 14 / 7 / 7 / 7 / 6 14
/ 2 | 1 172032*n 3584*n 1835008*n | | 1 896*n 12288*n | | 1 64*n | / 2 | 1 64*n | / 2 | 1 64*n | | 1 896*n 12288*n |
3*(1 + 2*n) + 3*n/*|———- – —————- + —————- + —————–| 3*(7 + 8*n)*|———- – —————- + —————-| 3*|——— + —————-| *(1 + 2*n) + 3*n/ 3*|——— + —————-| *(7 + 8*n) 3*(1 + 2*n) + 3*n/*|——— + —————-|*|———- – —————- + —————-|
| 5/2 7/4 3/4 11/4| | 3/2 3/4 7/4| | _______ 3/4| | _______ 3/4| | _______ 3/4| | 3/2 3/4 7/4|
7 |(5 + n) / 8 / 8 / 8 | |(5 + n) / 8 / 8 | |/ 5 + n / 8 | |/ 5 + n / 8 | |/ 5 + n / 8 | |(5 + n) / 8 / 8 |
12 768*n -81 + 16*n / -81 + 16*n / -81 + 16*n / / -81 + 16*n / -81 + 16*n / / -81 + 16*n / / -81 + 16*n / / -81 + 16*n / / -81 + 16*n / -81 + 16*n / /
– ——— – —————- – ——————————————————————————————- + ————————————————————– – —————————————————- + ——————————————- – ——————————————————————————————————
_______ 3/4 8 4 2 / _____________ / _____________
/ 5 + n / 8 / _____________ |4 / 8 _______| |4 / 8 _______|
-81 + 16*n / |4 / 8 _______| 2*/ -81 + 16*n + / 5 + n / 4*/ -81 + 16*n + / 5 + n /
4*/ -81 + 16*n + / 5 + n /
———————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————–
2
/ _____________
|4 / 8 _______|
/ -81 + 16*n + / 5 + n /

$$frac{1}{left(sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}right)^{2}} left(- frac{768 n^{7}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} – frac{3 left(3 n + left(2 n + 1right)^{2}right) left(frac{64 n^{7}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{sqrt{n + 5}}right)^{3}}{4 left(sqrt{n + 5} + sqrt[4]{16 n^{8} – 81}right)^{2}} – frac{3}{4 sqrt{n + 5} + 4 sqrt[4]{16 n^{8} – 81}} left(3 n + left(2 n + 1right)^{2}right) left(frac{64 n^{7}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{sqrt{n + 5}}right) left(frac{12288 n^{14}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{7}{4}}} – frac{896 n^{6}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{left(n + 5right)^{frac{3}{2}}}right) – frac{3}{8} left(3 n + left(2 n + 1right)^{2}right) left(frac{1835008 n^{21}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{11}{4}}} – frac{172032 n^{13}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{7}{4}}} + frac{3584 n^{5}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{left(n + 5right)^{frac{5}{2}}}right) + frac{3 left(8 n + 7right) left(frac{64 n^{7}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{sqrt{n + 5}}right)^{2}}{2 sqrt{n + 5} + 2 sqrt[4]{16 n^{8} – 81}} + frac{3}{4} left(8 n + 7right) left(frac{12288 n^{14}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{7}{4}}} – frac{896 n^{6}}{left(16 n^{8} – 81right)^{frac{3}{4}}} + frac{1}{left(n + 5right)^{frac{3}{2}}}right) – frac{12}{sqrt{n + 5}}right)$$