Производная 3*sin(x)*cos(3*x)+sin(3*x)*cos(x)

1. дифференцируем
   3 sin{left (x right )} cos{left (3 x right )} + sin{left (3 x right )} cos{left (x right )}
   почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      frac{d}{d x}left(f{left (x right )} g{left (x right )}right) = f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}

      f{left (x right )} = 3 sin{left (x right )}
      ; найдём
      frac{d}{d x} f{left (x right )}
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            frac{d}{d x} sin{left (x right )} = cos{left (x right )}

         Таким образом, в результате:
         3 cos{left (x right )}

      g{left (x right )} = cos{left (3 x right )}
      ; найдём
      frac{d}{d x} g{left (x right )}
      :

      1. Заменим
         u = 3 x
         .

      2. Производная косинус есть минус синус:

         frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(3 xright)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            Таким образом, в результате:
            3

         В результате последовательности правил:

         – 3 sin{left (3 x right )}

      В результате:
      – 9 sin{left (x right )} sin{left (3 x right )} + 3 cos{left (x right )} cos{left (3 x right )}

   2. Применяем правило производной умножения:

      frac{d}{d x}left(f{left (x right )} g{left (x right )}right) = f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}

      f{left (x right )} = sin{left (3 x right )}
      ; найдём
      frac{d}{d x} f{left (x right )}
      :

      1. Заменим
         u = 3 x
         .

      2. Производная синуса есть косинус:

         frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(3 xright)
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            Таким образом, в результате:
            3

         В результате последовательности правил:

         3 cos{left (3 x right )}

      g{left (x right )} = cos{left (x right )}
      ; найдём
      frac{d}{d x} g{left (x right )}
      :

      1. Производная косинус есть минус синус:

         frac{d}{d x} cos{left (x right )} = – sin{left (x right )}

      В результате:
      – sin{left (x right )} sin{left (3 x right )} + 3 cos{left (x right )} cos{left (3 x right )}

   В результате:
   – 10 sin{left (x right )} sin{left (3 x right )} + 6 cos{left (x right )} cos{left (3 x right )}

2. Теперь упростим:

   – 2 cos{left (2 x right )} + 8 cos{left (4 x right )}

Ответ:

– 2 cos{left (2 x right )} + 8 cos{left (4 x right )}

-10*sin(x)*sin(3*x) + 6*cos(x)*cos(3*x)

-4*(7*cos(x)*sin(3*x) + 9*cos(3*x)*sin(x))

8*(-15*cos(x)*cos(3*x) + 17*sin(x)*sin(3*x))