Производная 5^x*cos(x)

$$5^{x} cos{left (x right )}$$

1. Применяем правило производной умножения:

   frac{d}{d x}left(f{left (x right )} g{left (x right )}right) = f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}

   f{left (x right )} = 5^{x}
   ; найдём
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} log{left (5 right )}

   g{left (x right )} = cos{left (x right )}
   ; найдём
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. Производная косинус есть минус синус:

      frac{d}{d x} cos{left (x right )} = – sin{left (x right )}

   В результате:
   – 5^{x} sin{left (x right )} + 5^{x} log{left (5 right )} cos{left (x right )}

2. Теперь упростим:

   5^{x} left(- sin{left (x right )} + log{left (5 right )} cos{left (x right )}right)

---

Ответ:

5^{x} left(- sin{left (x right )} + log{left (5 right )} cos{left (x right )}right)

x x
– 5 *sin(x) + 5 *cos(x)*log(5)

$$- 5^{x} sin{left (x right )} + 5^{x} log{left (5 right )} cos{left (x right )}$$

Вторая производная

x / 2
5 * -cos(x) + log (5)*cos(x) – 2*log(5)*sin(x)/

$$5^{x} left(- 2 log{left (5 right )} sin{left (x right )} – cos{left (x right )} + log^{2}{left (5 right )} cos{left (x right )}right)$$

Третья производная

x / 3 2
5 *log (5)*cos(x) – 3*log (5)*sin(x) – 3*cos(x)*log(5) + sin(x)/

$$5^{x} left(- 3 log^{2}{left (5 right )} sin{left (x right )} + sin{left (x right )} – 3 log{left (5 right )} cos{left (x right )} + log^{3}{left (5 right )} cos{left (x right )}right)$$