Производная (e^x-1)/(e^x+1)

$$frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1}$$

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = e^{x} – 1
   и
   g{left (x right )} = e^{x} + 1
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. дифференцируем
      e^{x} – 1
      почленно:

      1. Производная постоянной
         -1
         равна нулю.

      2. Производная
         e^{x}
         само оно.

      В результате:
      e^{x}

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. дифференцируем
      e^{x} + 1
      почленно:

      1. Производная постоянной
         1
         равна нулю.

      2. Производная
         e^{x}
         само оно.

      В результате:
      e^{x}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{left(e^{x} + 1right)^{2}} left(- left(e^{x} – 1right) e^{x} + left(e^{x} + 1right) e^{x}right)

2. Теперь упростим:

   frac{2 e^{x}}{left(e^{x} + 1right)^{2}}

---

Ответ:

frac{2 e^{x}}{left(e^{x} + 1right)^{2}}

x / x x
e E – 1/*e
—— – ———–
x 2
E + 1 / x
E + 1/

$$- frac{left(e^{x} – 1right) e^{x}}{left(e^{x} + 1right)^{2}} + frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$$

Вторая производная

/ x x / x x
| -1 + e 2*e 2* -1 + e /*e | x
|1 – ——- – —— + ————–|*e
| x x 2 |
| 1 + e 1 + e / x |
1 + e / /
——————————————
x
1 + e

$$frac{e^{x}}{e^{x} + 1} left(- frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1} + frac{2 left(e^{x} – 1right) e^{x}}{left(e^{x} + 1right)^{2}} + 1 – frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}right)$$

Третья производная

/ x x 2*x / x 2*x / x x
| -1 + e 6*e 6*e 6* -1 + e /*e 6* -1 + e /*e | x
|1 – ——- – —— + ——— – —————- + ————–|*e
| x x 2 3 2 |
| 1 + e 1 + e / x / x / x |
1 + e / 1 + e / 1 + e / /
————————————————————————-
x
1 + e

$$frac{e^{x}}{e^{x} + 1} left(- frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1} + frac{6 left(e^{x} – 1right) e^{x}}{left(e^{x} + 1right)^{2}} – frac{6 left(e^{x} – 1right) e^{2 x}}{left(e^{x} + 1right)^{3}} + 1 – frac{6 e^{x}}{e^{x} + 1} + frac{6 e^{2 x}}{left(e^{x} + 1right)^{2}}right)$$