Производная e^(x+1)^2/sin(x^3+2)

Дано

$$\frac{e^{\left(x + 1\right)^{2}}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}}$$
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    \frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f{\left (x \right )} = e^{\left(x + 1\right)^{2}}
    и
    g{\left (x \right )} = \sin{\left (x^{3} + 2 \right )}
    $$ .

    Чтобы найти $$
    \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}
    :

    1. Заменим
      u = \left(x + 1\right)^{2}
      .

    2. Производная
      e^{u}
      само оно.

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{2}
      :

      1. Заменим
        u = x + 1
        .

      2. В силу правила, применим:
        u^{2}
        получим
        2 u

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
        \frac{d}{d x}\left(x + 1\right)
        :

        1. дифференцируем
          x + 1
          почленно:

          1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

          2. Производная постоянной
            1
            равна нулю.

          В результате:
          1

        В результате последовательности правил:

        2 x + 2

      В результате последовательности правил:

      \left(2 x + 2\right) e^{\left(x + 1\right)^{2}}

    Чтобы найти
    \frac{d}{d x} g{\left (x \right )}
    :

    1. Заменим
      u = x^{3} + 2
      .

    2. Производная синуса есть косинус:

      \frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x}\left(x^{3} + 2\right)
      :

      1. дифференцируем
        x^{3} + 2
        почленно:

        1. В силу правила, применим:
          x^{3}
          получим
          3 x^{2}

        2. Производная постоянной
          2
          равна нулю.

        В результате:
        3 x^{2}

      В результате последовательности правил:

      3 x^{2} \cos{\left (x^{3} + 2 \right )}

    Теперь применим правило производной деления:

    \frac{1}{\sin^{2}{\left (x^{3} + 2 \right )}} \left(- 3 x^{2} e^{\left(x + 1\right)^{2}} \cos{\left (x^{3} + 2 \right )} + \left(2 x + 2\right) e^{\left(x + 1\right)^{2}} \sin{\left (x^{3} + 2 \right )}\right)

  2. Теперь упростим:

    \frac{e^{\left(x + 1\right)^{2}}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}} \left(- \frac{3 x^{2}}{\tan{\left (x^{3} + 2 \right )}} + 2 x + 2\right)

Читайте также  Производная cos(3*x)^4

Ответ:

\frac{e^{\left(x + 1\right)^{2}}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}} \left(- \frac{3 x^{2}}{\tan{\left (x^{3} + 2 \right )}} + 2 x + 2\right)

Первая производная

/ 2 / 2
(x + 1) / 2 / 3 (x + 1) /
(2 + 2*x)*e 3*x *cosx + 2/*e
——————— — —————————-
/ 3 2/ 3
sinx + 2/ sin x + 2/

$$- \frac{3 x^{2} e^{\left(x + 1\right)^{2}} \cos{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{3} + 2 \right )}} + \frac{\left(2 x + 2\right) e^{\left(x + 1\right)^{2}}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}}$$
Читайте также  Производная tan((z)^(1/2))
Вторая производная

/ / 3 4 2/ 3 2 / 3\ / 2
| 2 4 6*x*cos2 + x / 18*x *cos 2 + x / 12*x *(1 + x)*cos2 + x /| (1 + x) /
|2 + 4*(1 + x) + 9*x — ————— + —————— — ————————-|*e
| / 3 2/ 3 / 3 |
sin2 + x / sin 2 + x / sin2 + x / /
——————————————————————————————————
/ 3
sin2 + x /

$$\frac{e^{\left(x + 1\right)^{2}}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}} \left(9 x^{4} + \frac{18 x^{4} \cos^{2}{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{3} + 2 \right )}} — \frac{12 x^{2} \left(x + 1\right) \cos{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}} — \frac{6 x \cos{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}} + 4 \left(x + 1\right)^{2} + 2\right)$$
Третья производная

/ / 3 6 3/ 3 6 / 3 2 / 3 3 2/ 3 / 3 2 2 / 3 4 2/ 3 / 2
| 3 3 6*cos2 + x / 4 162*x *cos 2 + x / 135*x *cos2 + x / 18*x *cos2 + x / 108*x *cos 2 + x / 36*x*(1 + x)*cos2 + x / 36*x *(1 + x) *cos2 + x / 108*x *cos 2 + x /*(1 + x)| (1 + x) /
|12 + 8*(1 + x) + 12*x + 54*x — ————- + 54*x *(1 + x) — ——————- — —————— — —————— + ——————- — ———————— — ————————— + —————————|*e
| / 3 3/ 3 / 3 / 3 2/ 3 / 3 / 3 2/ 3 |
sin2 + x / sin 2 + x / sin2 + x / sin2 + x / sin 2 + x / sin2 + x / sin2 + x / sin 2 + x / /
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————-
/ 3
sin2 + x /

$$\frac{e^{\left(x + 1\right)^{2}}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}} \left(- \frac{135 x^{6} \cos{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}} — \frac{162 x^{6} \cos^{3}{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin^{3}{\left (x^{3} + 2 \right )}} + 54 x^{4} \left(x + 1\right) + \frac{108 x^{4} \left(x + 1\right) \cos^{2}{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{3} + 2 \right )}} + 54 x^{3} + \frac{108 x^{3} \cos^{2}{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{3} + 2 \right )}} — \frac{36 x^{2} \left(x + 1\right)^{2} \cos{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}} — \frac{18 x^{2} \cos{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}} — \frac{36 x \left(x + 1\right) \cos{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}} + 12 x + 8 \left(x + 1\right)^{3} + 12 — \frac{6 \cos{\left (x^{3} + 2 \right )}}{\sin{\left (x^{3} + 2 \right )}}\right)$$
Читайте также  Производная 4^x-2^(x+4)+100
1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...