Производная e^(x+1)^2/sin(x^3+2)

$$frac{e^{left(x + 1right)^{2}}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}}$$

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = e^{left(x + 1right)^{2}}
   и
   g{left (x right )} = sin{left (x^{3} + 2 right )}
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = left(x + 1right)^{2}
      .

   2. Производная
      e^{u}
      само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x} left(x + 1right)^{2}
      :

      1. Заменим
         u = x + 1
         .

      2. В силу правила, применим:
         u^{2}
         получим
         2 u

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(x + 1right)
         :

         1. дифференцируем
            x + 1
            почленно:

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            2. Производная постоянной
               1
               равна нулю.

            В результате:
            1

         В результате последовательности правил:

         2 x + 2

      В результате последовательности правил:

      left(2 x + 2right) e^{left(x + 1right)^{2}}

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = x^{3} + 2
      .

   2. Производная синуса есть косинус:

      frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(x^{3} + 2right)
      :

      1. дифференцируем
         x^{3} + 2
         почленно:

         1. В силу правила, применим:
            x^{3}
            получим
            3 x^{2}

         2. Производная постоянной
            2
            равна нулю.

         В результате:
         3 x^{2}

      В результате последовательности правил:

      3 x^{2} cos{left (x^{3} + 2 right )}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{sin^{2}{left (x^{3} + 2 right )}} left(- 3 x^{2} e^{left(x + 1right)^{2}} cos{left (x^{3} + 2 right )} + left(2 x + 2right) e^{left(x + 1right)^{2}} sin{left (x^{3} + 2 right )}right)

2. Теперь упростим:

   frac{e^{left(x + 1right)^{2}}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}} left(- frac{3 x^{2}}{tan{left (x^{3} + 2 right )}} + 2 x + 2right)

---

Ответ:

frac{e^{left(x + 1right)^{2}}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}} left(- frac{3 x^{2}}{tan{left (x^{3} + 2 right )}} + 2 x + 2right)

/ 2 / 2
(x + 1) / 2 / 3 (x + 1) /
(2 + 2*x)*e 3*x *cosx + 2/*e
——————— – —————————-
/ 3 2/ 3
sinx + 2/ sin x + 2/

$$- frac{3 x^{2} e^{left(x + 1right)^{2}} cos{left (x^{3} + 2 right )}}{sin^{2}{left (x^{3} + 2 right )}} + frac{left(2 x + 2right) e^{left(x + 1right)^{2}}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}}$$

Вторая производная

/ / 3 4 2/ 3 2 / 3 / 2
| 2 4 6*x*cos2 + x / 18*x *cos 2 + x / 12*x *(1 + x)*cos2 + x /| (1 + x) /
|2 + 4*(1 + x) + 9*x – ————— + —————— – ————————-|*e
| / 3 2/ 3 / 3 |
sin2 + x / sin 2 + x / sin2 + x / /
——————————————————————————————————
/ 3
sin2 + x /

$$frac{e^{left(x + 1right)^{2}}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}} left(9 x^{4} + frac{18 x^{4} cos^{2}{left (x^{3} + 2 right )}}{sin^{2}{left (x^{3} + 2 right )}} – frac{12 x^{2} left(x + 1right) cos{left (x^{3} + 2 right )}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}} – frac{6 x cos{left (x^{3} + 2 right )}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}} + 4 left(x + 1right)^{2} + 2right)$$

Третья производная

/ / 3 6 3/ 3 6 / 3 2 / 3 3 2/ 3 / 3 2 2 / 3 4 2/ 3 / 2
| 3 3 6*cos2 + x / 4 162*x *cos 2 + x / 135*x *cos2 + x / 18*x *cos2 + x / 108*x *cos 2 + x / 36*x*(1 + x)*cos2 + x / 36*x *(1 + x) *cos2 + x / 108*x *cos 2 + x /*(1 + x)| (1 + x) /
|12 + 8*(1 + x) + 12*x + 54*x – ————- + 54*x *(1 + x) – ——————- – —————— – —————– + ——————- – ———————— – ————————– + —————————|*e
| / 3 3/ 3 / 3 / 3 2/ 3 / 3 / 3 2/ 3 |
sin2 + x / sin 2 + x / sin2 + x / sin2 + x / sin 2 + x / sin2 + x / sin2 + x / sin 2 + x / /
——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————-
/ 3
sin2 + x /

$$frac{e^{left(x + 1right)^{2}}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}} left(- frac{135 x^{6} cos{left (x^{3} + 2 right )}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}} – frac{162 x^{6} cos^{3}{left (x^{3} + 2 right )}}{sin^{3}{left (x^{3} + 2 right )}} + 54 x^{4} left(x + 1right) + frac{108 x^{4} left(x + 1right) cos^{2}{left (x^{3} + 2 right )}}{sin^{2}{left (x^{3} + 2 right )}} + 54 x^{3} + frac{108 x^{3} cos^{2}{left (x^{3} + 2 right )}}{sin^{2}{left (x^{3} + 2 right )}} – frac{36 x^{2} left(x + 1right)^{2} cos{left (x^{3} + 2 right )}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}} – frac{18 x^{2} cos{left (x^{3} + 2 right )}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}} – frac{36 x left(x + 1right) cos{left (x^{3} + 2 right )}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}} + 12 x + 8 left(x + 1right)^{3} + 12 – frac{6 cos{left (x^{3} + 2 right )}}{sin{left (x^{3} + 2 right )}}right)$$