Производная sin(2*x)/(sqrt(1+cos(x^2)))

$$frac{sin{left (2 x right )}}{sqrt{cos{left (x^{2} right )} + 1}}$$

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = sin{left (2 x right )}
   и
   g{left (x right )} = sqrt{cos{left (x^{2} right )} + 1}
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = 2 x
      .

   2. Производная синуса есть косинус:

      frac{d}{d u} sin{left (u right )} = cos{left (u right )}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(2 xright)
      :

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         Таким образом, в результате:
         2

      В результате последовательности правил:

      2 cos{left (2 x right )}

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = cos{left (x^{2} right )} + 1
      .

   2. В силу правила, применим:
      sqrt{u}
      получим
      frac{1}{2 sqrt{u}}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(cos{left (x^{2} right )} + 1right)
      :

      1. дифференцируем
         cos{left (x^{2} right )} + 1
         почленно:

         1. Производная постоянной
            1
            равна нулю.

         2. Заменим
            u = x^{2}
            .

         3. Производная косинус есть минус синус:

            frac{d}{d u} cos{left (u right )} = – sin{left (u right )}

         4. Затем примените цепочку правил. Умножим на
            frac{d}{d x} x^{2}
            :

            1. В силу правила, применим:
               x^{2}
               получим
               2 x

            В результате последовательности правил:

            – 2 x sin{left (x^{2} right )}

         В результате:
         – 2 x sin{left (x^{2} right )}

      В результате последовательности правил:

      – frac{x sin{left (x^{2} right )}}{sqrt{cos{left (x^{2} right )} + 1}}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{cos{left (x^{2} right )} + 1} left(frac{x sin{left (2 x right )} sin{left (x^{2} right )}}{sqrt{cos{left (x^{2} right )} + 1}} + 2 sqrt{cos{left (x^{2} right )} + 1} cos{left (2 x right )}right)

2. Теперь упростим:

   frac{1}{left(cos{left (x^{2} right )} + 1right)^{frac{3}{2}}} left(x sin{left (2 x right )} sin{left (x^{2} right )} + 2 left(cos{left (x^{2} right )} + 1right) cos{left (2 x right )}right)

---

Ответ:

frac{1}{left(cos{left (x^{2} right )} + 1right)^{frac{3}{2}}} left(x sin{left (2 x right )} sin{left (x^{2} right )} + 2 left(cos{left (x^{2} right )} + 1right) cos{left (2 x right )}right)

/ 2
2*cos(2*x) x*sinx /*sin(2*x)
—————- + ——————
_____________ 3/2
/ / 2 / / 2
/ 1 + cosx / 1 + cosx //

$$frac{x sin{left (2 x right )} sin{left (x^{2} right )}}{left(cos{left (x^{2} right )} + 1right)^{frac{3}{2}}} + frac{2 cos{left (2 x right )}}{sqrt{cos{left (x^{2} right )} + 1}}$$

Вторая производная

/ 2 2 / 2 2 2/ 2 / 2
sinx /*sin(2*x) 2*x *cosx /*sin(2*x) 3*x *sin x /*sin(2*x) 4*x*cos(2*x)*sinx /
-4*sin(2*x) + —————- + ——————— + ———————- + ——————–
/ 2 / 2 2 / 2
1 + cosx / 1 + cosx / / / 2 1 + cosx /
1 + cosx //
——————————————————————————————————
_____________
/ / 2
/ 1 + cosx /

$$frac{1}{sqrt{cos{left (x^{2} right )} + 1}} left(frac{2 x^{2} sin{left (2 x right )} cos{left (x^{2} right )}}{cos{left (x^{2} right )} + 1} + frac{3 x^{2} sin{left (2 x right )} sin^{2}{left (x^{2} right )}}{left(cos{left (x^{2} right )} + 1right)^{2}} + frac{4 x sin{left (x^{2} right )} cos{left (2 x right )}}{cos{left (x^{2} right )} + 1} – 4 sin{left (2 x right )} + frac{sin{left (2 x right )} sin{left (x^{2} right )}}{cos{left (x^{2} right )} + 1}right)$$

Третья производная

/ 2 / 2 3 / 2 / 2 2/ 2 2 / 2 3 3/ 2 2 2/ 2 3 / 2 / 2
6*cos(2*x)*sinx / 12*x*sinx /*sin(2*x) 4*x *sinx /*sin(2*x) 6*x*cosx /*sin(2*x) 9*x*sin x /*sin(2*x) 12*x *cosx /*cos(2*x) 15*x *sin x /*sin(2*x) 18*x *sin x /*cos(2*x) 18*x *cosx /*sinx /*sin(2*x)
-8*cos(2*x) + —————— – ——————— – ——————— + ——————– + ——————— + ———————- + ———————– + ———————– + ——————————
/ 2 / 2 / 2 / 2 2 / 2 3 2 2
1 + cosx / 1 + cosx / 1 + cosx / 1 + cosx / / / 2 1 + cosx / / / 2 / / 2 / / 2
1 + cosx // 1 + cosx // 1 + cosx // 1 + cosx //
———————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
_____________
/ / 2
/ 1 + cosx /

$$frac{1}{sqrt{cos{left (x^{2} right )} + 1}} left(- frac{4 x^{3} sin{left (2 x right )} sin{left (x^{2} right )}}{cos{left (x^{2} right )} + 1} + frac{18 x^{3} sin{left (x^{2} right )} cos{left (x^{2} right )}}{left(cos{left (x^{2} right )} + 1right)^{2}} sin{left (2 x right )} + frac{15 x^{3} sin{left (2 x right )} sin^{3}{left (x^{2} right )}}{left(cos{left (x^{2} right )} + 1right)^{3}} + frac{12 x^{2} cos{left (2 x right )} cos{left (x^{2} right )}}{cos{left (x^{2} right )} + 1} + frac{18 x^{2} sin^{2}{left (x^{2} right )} cos{left (2 x right )}}{left(cos{left (x^{2} right )} + 1right)^{2}} – frac{12 x sin{left (2 x right )} sin{left (x^{2} right )}}{cos{left (x^{2} right )} + 1} + frac{6 x sin{left (2 x right )} cos{left (x^{2} right )}}{cos{left (x^{2} right )} + 1} + frac{9 x sin{left (2 x right )} sin^{2}{left (x^{2} right )}}{left(cos{left (x^{2} right )} + 1right)^{2}} – 8 cos{left (2 x right )} + frac{6 sin{left (x^{2} right )} cos{left (2 x right )}}{cos{left (x^{2} right )} + 1}right)$$