Производная sqrt(3*x^2+2*sqrt(tg)*x^2)

$$sqrt{x^{2} cdot 2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3 x^{2}}$$

1. Заменим
   u = x^{2} cdot 2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3 x^{2}
   .

2. В силу правила, применим:
   sqrt{u}
   получим
   frac{1}{2 sqrt{u}}

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
   frac{d}{d x}left(x^{2} cdot 2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3 x^{2}right)
   :

   1. дифференцируем
      x^{2} cdot 2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3 x^{2}
      почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим:
            x^{2}
            получим
            2 x

         Таким образом, в результате:
         6 x

      2. Применяем правило производной умножения:

         frac{d}{d x}left(f{left (x right )} g{left (x right )}right) = f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}

         f{left (x right )} = 2 sqrt{tan{left (x right )}}
         ; найдём
         frac{d}{d x} f{left (x right )}
         :

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим
               u = tan{left (x right )}
               .

            2. В силу правила, применим:
               sqrt{u}
               получим
               frac{1}{2 sqrt{u}}

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
               frac{d}{d x} tan{left (x right )}
               :

               1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

                  Один из способов:

                  1. frac{d}{d x} tan{left (x right )} = frac{1}{cos^{2}{left (x right )}}

               В результате последовательности правил:

               frac{sin^{2}{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}}{2 cos^{2}{left (x right )} sqrt{tan{left (x right )}}}

            Таким образом, в результате:
            frac{sin^{2}{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}}{cos^{2}{left (x right )} sqrt{tan{left (x right )}}}

         g{left (x right )} = x^{2}
         ; найдём
         frac{d}{d x} g{left (x right )}
         :

         1. В силу правила, применим:
            x^{2}
            получим
            2 x

         В результате:
         frac{x^{2} left(sin^{2}{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}right)}{cos^{2}{left (x right )} sqrt{tan{left (x right )}}} + 4 x sqrt{tan{left (x right )}}

      В результате:
      frac{x^{2} left(sin^{2}{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}right)}{cos^{2}{left (x right )} sqrt{tan{left (x right )}}} + 4 x sqrt{tan{left (x right )}} + 6 x

   В результате последовательности правил:

   frac{1}{2 sqrt{x^{2} cdot 2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3 x^{2}}} left(frac{x^{2} left(sin^{2}{left (x right )} + cos^{2}{left (x right )}right)}{cos^{2}{left (x right )} sqrt{tan{left (x right )}}} + 4 x sqrt{tan{left (x right )}} + 6 xright)

4. Теперь упростим:

   frac{x left(x + left(4 sqrt{tan{left (x right )}} + 6right) cos^{2}{left (x right )} sqrt{tan{left (x right )}}right)}{2 sqrt{x^{2} left(2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3right)} cos^{2}{left (x right )} sqrt{tan{left (x right )}}}

---

Ответ:

frac{x left(x + left(4 sqrt{tan{left (x right )}} + 6right) cos^{2}{left (x right )} sqrt{tan{left (x right )}}right)}{2 sqrt{x^{2} left(2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3right)} cos^{2}{left (x right )} sqrt{tan{left (x right )}}}

/ 2
2 |1 tan (x)|
x *|- + ——-|
________ 2 2 /
3*x + 2*x*/ tan(x) + —————-
________
/ tan(x)
—————————————
________________________
/ 2 ________ 2
/ 3*x + 2*/ tan(x) *x

$$frac{1}{sqrt{x^{2} cdot 2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3 x^{2}}} left(frac{x^{2} left(frac{1}{2} tan^{2}{left (x right )} + frac{1}{2}right)}{sqrt{tan{left (x right )}}} + 2 x sqrt{tan{left (x right )}} + 3 xright)$$

Вторая производная

2
/ / 2
| ________ x*1 + tan (x)/|
|6 + 4*/ tan(x) + —————| 2
| ________ | / 2 2 / 2
________ / tan(x) / 2 ________ / 2 2*x*1 + tan (x)/ x *1 + tan (x)/
3 + 2*/ tan(x) – ————————————- + x */ tan(x) *1 + tan (x)/ + —————– – —————–
/ ________ ________ 3/2
4*3 + 2*/ tan(x) / / tan(x) 4*tan (x)
——————————————————————————————————————————
_______________________
/ 2 / ________
/ x *3 + 2*/ tan(x) /

$$frac{1}{sqrt{x^{2} left(2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3right)}} left(- frac{x^{2} left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)^{2}}{4 tan^{frac{3}{2}}{left (x right )}} + x^{2} left(tan^{2}{left (x right )} + 1right) sqrt{tan{left (x right )}} + frac{2 x left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)}{sqrt{tan{left (x right )}}} + 2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3 – frac{1}{8 sqrt{tan{left (x right )}} + 12} left(frac{x left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)}{sqrt{tan{left (x right )}}} + 4 sqrt{tan{left (x right )}} + 6right)^{2}right)$$

Третья производная

3 / 2
/ / 2 / / 2 | 2 / 2 / 2 |
| ________ x*1 + tan (x)/| | ________ x*1 + tan (x)/| | ________ x *1 + tan (x)/ 2 ________ / 2 8*x*1 + tan (x)/|
/ 2 3*|6 + 4*/ tan(x) + —————| 3*|6 + 4*/ tan(x) + —————|*|12 + 8*/ tan(x) – —————– + 4*x */ tan(x) *1 + tan (x)/ + —————–|
| / 2 2 / 2 2 / 2 | | ________ | | ________ | | 3/2 ________ |
/ 2 | 24 2 3/2 ________ 12*x*1 + tan (x)/ 4*x *1 + tan (x)/ 3*x *1 + tan (x)/ | / tan(x) / / tan(x) / tan (x) / tan(x) /
1 + tan (x)/*|———- + 16*x *tan (x) + 48*x*/ tan(x) – —————— – —————— + ——————-| + ————————————— – ———————————————————————————————————————————-
| ________ 3/2 ________ 5/2 | 2 / ________
/ tan(x) tan (x) / tan(x) tan (x) / / ________ x*3 + 2*/ tan(x) /
x*3 + 2*/ tan(x) /
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————-
_______________________
/ 2 / ________
8*/ x *3 + 2*/ tan(x) /

$$frac{1}{8 sqrt{x^{2} left(2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3right)}} left(left(tan^{2}{left (x right )} + 1right) left(frac{3 x^{2} left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)^{2}}{tan^{frac{5}{2}}{left (x right )}} – frac{4 x^{2} left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)}{sqrt{tan{left (x right )}}} + 16 x^{2} tan^{frac{3}{2}}{left (x right )} – frac{12 x left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)}{tan^{frac{3}{2}}{left (x right )}} + 48 x sqrt{tan{left (x right )}} + frac{24}{sqrt{tan{left (x right )}}}right) – frac{3}{x left(2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3right)} left(frac{x left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)}{sqrt{tan{left (x right )}}} + 4 sqrt{tan{left (x right )}} + 6right) left(- frac{x^{2} left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)^{2}}{tan^{frac{3}{2}}{left (x right )}} + 4 x^{2} left(tan^{2}{left (x right )} + 1right) sqrt{tan{left (x right )}} + frac{8 x left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)}{sqrt{tan{left (x right )}}} + 8 sqrt{tan{left (x right )}} + 12right) + frac{3}{x left(2 sqrt{tan{left (x right )}} + 3right)^{2}} left(frac{x left(tan^{2}{left (x right )} + 1right)}{sqrt{tan{left (x right )}}} + 4 sqrt{tan{left (x right )}} + 6right)^{3}right)$$