Производная (sqrt(x+1))/(sqrt(x+2))

$$frac{sqrt{x + 1}}{sqrt{x + 2}}$$

1. Применим правило производной частного:

   frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

   f{left (x right )} = sqrt{x + 1}
   и
   g{left (x right )} = sqrt{x + 2}
   $$ .

   Чтобы найти $$
   frac{d}{d x} f{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = x + 1
      .

   2. В силу правила, применим:
      sqrt{u}
      получим
      frac{1}{2 sqrt{u}}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(x + 1right)
      :

      1. дифференцируем
         x + 1
         почленно:

         1. Производная постоянной
            1
            равна нулю.

         2. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         В результате:
         1

      В результате последовательности правил:

      frac{1}{2 sqrt{x + 1}}

   Чтобы найти
   frac{d}{d x} g{left (x right )}
   :

   1. Заменим
      u = x + 2
      .

   2. В силу правила, применим:
      sqrt{u}
      получим
      frac{1}{2 sqrt{u}}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      frac{d}{d x}left(x + 2right)
      :

      1. дифференцируем
         x + 2
         почленно:

         1. Производная постоянной
            2
            равна нулю.

         2. В силу правила, применим:
            x
            получим
            1

         В результате:
         1

      В результате последовательности правил:

      frac{1}{2 sqrt{x + 2}}

   Теперь применим правило производной деления:

   frac{1}{x + 2} left(- frac{sqrt{x + 1}}{2 sqrt{x + 2}} + frac{sqrt{x + 2}}{2 sqrt{x + 1}}right)

2. Теперь упростим:

   frac{1}{2 sqrt{x + 1} left(x + 2right)^{frac{3}{2}}}

---

Ответ:

frac{1}{2 sqrt{x + 1} left(x + 2right)^{frac{3}{2}}}

_______
1 / x + 1
——————— – ————
_______ _______ 3/2
2*/ x + 1 */ x + 2 2*(x + 2)

$$- frac{sqrt{x + 1}}{2 left(x + 2right)^{frac{3}{2}}} + frac{1}{2 sqrt{x + 1} sqrt{x + 2}}$$

Вторая производная

_______
1 2 3*/ 1 + x
– ———- – —————– + ———–
3/2 _______ 2
(1 + x) / 1 + x *(2 + x) (2 + x)
———————————————-
_______
4*/ 2 + x

$$frac{1}{4 sqrt{x + 2}} left(frac{3 sqrt{x + 1}}{left(x + 2right)^{2}} – frac{2}{sqrt{x + 1} left(x + 2right)} – frac{1}{left(x + 1right)^{frac{3}{2}}}right)$$

Третья производная

/ _______
| 1 1 5*/ 1 + x 3 |
3*|———- + —————— – ———– + ——————|
| 5/2 3/2 3 _______ 2|
(1 + x) (1 + x) *(2 + x) (2 + x) / 1 + x *(2 + x) /
———————————————————————-
_______
8*/ 2 + x

$$frac{1}{8 sqrt{x + 2}} left(- frac{15 sqrt{x + 1}}{left(x + 2right)^{3}} + frac{9}{sqrt{x + 1} left(x + 2right)^{2}} + frac{3}{left(x + 1right)^{frac{3}{2}} left(x + 2right)} + frac{3}{left(x + 1right)^{frac{5}{2}}}right)$$