Производная (x+1)^2/x^2+1

$$1 + frac{1}{x^{2}} left(x + 1right)^{2}$$

1. дифференцируем
   1 + frac{1}{x^{2}} left(x + 1right)^{2}
   почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      frac{d}{d x}left(frac{f{left (x right )}}{g{left (x right )}}right) = frac{1}{g^{2}{left (x right )}} left(- f{left (x right )} frac{d}{d x} g{left (x right )} + g{left (x right )} frac{d}{d x} f{left (x right )}right)

      f{left (x right )} = left(x + 1right)^{2}
      и
      g{left (x right )} = x^{2}
      $$ .

      Чтобы найти $$
      frac{d}{d x} f{left (x right )}
      :

      1. Заменим
         u = x + 1
         .

      2. В силу правила, применим:
         u^{2}
         получим
         2 u

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         frac{d}{d x}left(x + 1right)
         :

         1. дифференцируем
            x + 1
            почленно:

            1. Производная постоянной
               1
               равна нулю.

            2. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            В результате:
            1

         В результате последовательности правил:

         2 x + 2

      Чтобы найти
      frac{d}{d x} g{left (x right )}
      :

      1. В силу правила, применим:
         x^{2}
         получим
         2 x

      Теперь применим правило производной деления:

      frac{1}{x^{4}} left(x^{2} left(2 x + 2right) – 2 x left(x + 1right)^{2}right)

   2. Производная постоянной
      1
      равна нулю.

   В результате:
   frac{1}{x^{4}} left(x^{2} left(2 x + 2right) – 2 x left(x + 1right)^{2}right)

2. Теперь упростим:

   – frac{1}{x^{3}} left(2 x + 2right)

---

Ответ:

– frac{1}{x^{3}} left(2 x + 2right)

2
2 + 2*x 2*(x + 1)
——- – ———-
2 3
x x

$$frac{1}{x^{2}} left(2 x + 2right) – frac{2}{x^{3}} left(x + 1right)^{2}$$

Вторая производная

/ 2
| 4*(1 + x) 3*(1 + x) |
2*|1 – ——— + ———-|
| x 2 |
x /
——————————
2
x

$$frac{1}{x^{2}} left(2 – frac{1}{x} left(8 x + 8right) + frac{6}{x^{2}} left(x + 1right)^{2}right)$$

Третья производная

/ 2
| 2*(1 + x) 3*(1 + x)|
12*|-1 – ———- + ———|
| 2 x |
x /
——————————–
3
x

$$frac{1}{x^{3}} left(-12 + frac{1}{x} left(36 x + 36right) – frac{24}{x^{2}} left(x + 1right)^{2}right)$$