Данная задача сводится к аппроксимации экспериментальных данных кривой вида f(t) = A*exp(-t/T2), используя метод наименьших квадратов.
Шаги решения:
1. Составляем матрицу системы уравнений для метода наименьших квадратов. В данном случае у нас есть 10 точек измерений, поэтому матрица будет иметь размерность 10×2. Первый столбец будет соответствовать значениям времени t, а второй – значениям сигнала ЯМР S(t).
2. Вычисляем псевдообратную матрицу системы уравнений.
3. Находим значения параметров A и T2, используя формулы A = (X^T * X)^(-1) * X^T * Y, где X – матрица системы уравнений, Y – столбец значений сигнала ЯМР.
4. Строим график, на котором отображаем экспериментальные данные и аппроксимирующую функцию f(t) = A*exp(-t/T2).
Решение:
1. Составляем матрицу системы уравнений:
t = [0.02, 0.04, 0.06, 0.08, 0.1, 0.12, 0.14, 0.16, 0.18, 0.2]
S(t) = [82.526, 69.204, 48.211, 48.537, 33.747, 29.437, 30.37, 24.573, 19.747, 11.019]
X = [[1, exp(-0.02/T2)],
[1, exp(-0.04/T2)],
[1, exp(-0.06/T2)],
[1, exp(-0.08/T2)],
[1, exp(-0.1/T2)],
[1, exp(-0.12/T2)],
[1, exp(-0.14/T2)],
[1, exp(-0.16/T2)],
[1, exp(-0.18/T2)],
[1, exp(-0.2/T2)]]
Y = [[82.526],
[69.204],
[48.211],
[48.537],
[33.747],
[29.437],
[30.37],
[24.573],
[19.747],
[11.019]]
2. Вычисляем псевдообратную матрицу системы уравнений: X_inv = (X^T * X)^(-1) * X^T
3. Находим значения параметров A и T2: A, T2 = X_inv * Y
4. Строим график экспериментальных данных и аппроксимирующей функции f(t) = A*exp(-t/T2), используя найденные значения A и T2.