Интеграл (cos(2*x))^3 (dx)

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   cos^{3}{left (2 x right )} = left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 1right) cos{left (2 x right )}

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть
      u = sin{left (2 x right )}
      .

      Тогда пусть
      du = 2 cos{left (2 x right )} dx
      и подставим
      du
      :

      int – frac{u^{2}}{2} + frac{1}{2}, du

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int – frac{u^{2}}{2}, du = – frac{1}{2} int u^{2}, du

            1. Интеграл
               u^{n}
               есть
               frac{u^{n + 1}}{n + 1}
               :

               int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            – frac{u^{3}}{6}

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            int frac{1}{2}, du = frac{u}{2}

         Результат есть:
         – frac{u^{3}}{6} + frac{u}{2}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 1right) cos{left (2 x right )} = – sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )} + cos{left (2 x right )}

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int – sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}, dx = – int sin^{2}{left (2 x right )} cos{left (2 x right )}, dx

         1. пусть
            u = sin{left (2 x right )}
            .

            Тогда пусть
            du = 2 cos{left (2 x right )} dx
            и подставим
            frac{du}{2}
            :

            int u^{2}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               int u^{2}, du = frac{1}{2} int u^{2}, du

               1. Интеграл
                  u^{n}
                  есть
                  frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                  :

                  int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
                  $$

               Таким образом, результат будет: $$
               frac{u^{3}}{6}
               $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )}

      1. пусть
         u = 2 x
         .

         Тогда пусть
         du = 2 dx
         и подставим
         frac{du}{2}
         :

         int cos{left (u right )}, du

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int cos{left (u right )}, du = frac{1}{2} int cos{left (u right )}, du
            $$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $$
               int cos{left (u right )}, du = sin{left (u right )}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            frac{1}{2} sin{left (u right )}
            $$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

      Результат есть:
      – frac{1}{6} sin^{3}{left (2 x right )} + frac{1}{2} sin{left (2 x right )}

3. Теперь упростить:

   frac{1}{6} left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 3right) sin{left (2 x right )}
   $$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   frac{1}{6} left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 3right) sin{left (2 x right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

frac{1}{6} left(- sin^{2}{left (2 x right )} + 3right) sin{left (2 x right )}+ mathrm{constant}

1
/
| 3
| 3 sin(2) sin (2)
| cos (2*x) dx = —— – ——-
| 2 6
/
0

0.329344222634675

/
| 3
| 3 sin(2*x) sin (2*x)
| cos (2*x) dx = C + ——– – ———
| 2 6
/