Интеграл sec(2*x) (dx)

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   sec{left (2 x right )} = frac{tan{left (2 x right )} sec{left (2 x right )} + sec^{2}{left (2 x right )}}{tan{left (2 x right )} + sec{left (2 x right )}}

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть
      u = tan{left (2 x right )} + sec{left (2 x right )}
      .

      Тогда пусть
      du = left(2 tan^{2}{left (2 x right )} + 2 tan{left (2 x right )} sec{left (2 x right )} + 2right) dx
      и подставим
      frac{du}{2}
      :

      int frac{1}{u}, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int frac{1}{u}, du = frac{1}{2} int frac{1}{u}, du

         1. Интеграл
            frac{1}{u}
            есть
            log{left (u right )}
            .$$

         Таким образом, результат будет: $$
         frac{1}{2} log{left (u right )}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      frac{1}{2} log{left (tan{left (2 x right )} + sec{left (2 x right )} right )}

   Метод #2

   1. пусть
      u = 2 x
      .

      Тогда пусть
      du = 2 dx
      и подставим
      frac{du}{2}
      :

      int sec{left (u right )}, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int sec{left (u right )}, du = frac{1}{2} int sec{left (u right )}, du

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            sec{left (u right )} = frac{tan{left (u right )} sec{left (u right )} + sec^{2}{left (u right )}}{tan{left (u right )} + sec{left (u right )}}

         2. пусть
            u = tan{left (u right )} + sec{left (u right )}
            .

            Тогда пусть
            du = left(tan^{2}{left (u right )} + tan{left (u right )} sec{left (u right )} + 1right) du
            и подставим
            du
            :

            int frac{1}{u}, du

            1. Интеграл
               frac{1}{u}
               есть
               log{left (u right )}
               .$$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            log{left (tan{left (u right )} + sec{left (u right )} right )}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         frac{1}{2} log{left (tan{left (u right )} + sec{left (u right )} right )}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      frac{1}{2} log{left (tan{left (2 x right )} + sec{left (2 x right )} right )}

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   frac{1}{2} log{left (tan{left (2 x right )} + sec{left (2 x right )} right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

frac{1}{2} log{left (tan{left (2 x right )} + sec{left (2 x right )} right )}+ mathrm{constant}

1
/
| log(1 – sin(2)) log(1 + sin(2))
| sec(2*x) dx = – ————— + —————
| 4 4
/
0

-0.637807798738107

/
| log(sec(2*x) + tan(2*x))
| sec(2*x) dx = C + ————————
| 2
/