Интеграл (sin(x))^3 (dx)

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   sin^{3}{left (x right )} = left(- cos^{2}{left (x right )} + 1right) sin{left (x right )}

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть
      u = cos{left (x right )}
      .

      Тогда пусть
      du = – sin{left (x right )} dx
      и подставим
      du
      :

      int u^{2} – 1, du

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл
            u^{n}
            есть
            frac{u^{n + 1}}{n + 1}
            :

            int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            int -1, du = – u

         Результат есть:
         frac{u^{3}}{3} – u
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      frac{1}{3} cos^{3}{left (x right )} – cos{left (x right )}

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      left(- cos^{2}{left (x right )} + 1right) sin{left (x right )} = – sin{left (x right )} cos^{2}{left (x right )} + sin{left (x right )}

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         int – sin{left (x right )} cos^{2}{left (x right )}, dx = – int sin{left (x right )} cos^{2}{left (x right )}, dx

         1. пусть
            u = cos{left (x right )}
            .

            Тогда пусть
            du = – sin{left (x right )} dx
            и подставим
            – du
            :

            int u^{2}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               int u^{2}, du = – int u^{2}, du

               1. Интеграл
                  u^{n}
                  есть
                  frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                  :

                  int u^{2}, du = frac{u^{3}}{3}
                  $$

               Таким образом, результат будет: $$
               – frac{u^{3}}{3}
               $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            – frac{1}{3} cos^{3}{left (x right )}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         frac{1}{3} cos^{3}{left (x right )}

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         int sin{left (x right )}, dx = – cos{left (x right )}

      Результат есть:
      frac{1}{3} cos^{3}{left (x right )} – cos{left (x right )}

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   frac{1}{3} cos^{3}{left (x right )} – cos{left (x right )}+ mathrm{constant}

Ответ:

frac{1}{3} cos^{3}{left (x right )} – cos{left (x right )}+ mathrm{constant}

1
/
| 3
| 3 2 cos (1)
| sin (x) dx = – – cos(1) + ——-
| 3 3
/
0

0.178940562548858

/
| 3
| 3 cos (x)
| sin (x) dx = C – cos(x) + ——-
| 3
/