Интеграл y*dy/e^y (dx)

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   frac{y}{e^{y}} = y e^{- y}

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть
      u = – y
      .

      Тогда пусть
      du = – dy
      и подставим
      du
      :

      int u e^{u}, du

      1. Используем интегрирование по частям:

         $$
         int {u} {dv}
         = {u}{v} –
         int {v} {du}
         $$

         пусть $$
         u{left (u right )} = u
         $$ и пусть $$
         {dv}{left (u right )} = e^{u}
         dx.$$

         Затем $$
         {du}{left (u right )} = 1
         dx$$ .

         Чтобы найти $$
         v{left (u right )}
         :

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            int e^{u}, du = e^{u}

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         int e^{u}, du = e^{u}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      – y e^{- y} – e^{- y}

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $$
      int {u} {dv}
      = {u}{v} –
      int {v} {du}
      $$

      пусть $$
      u{left (y right )} = y
      $$ и пусть $$
      {dv}{left (y right )} = e^{- y}
      dx.$$

      Затем $$
      {du}{left (y right )} = 1
      dx$$ .

      Чтобы найти $$
      v{left (y right )}
      :

      1. пусть
         u = – y
         .

         Тогда пусть
         du = – dy
         и подставим
         – du
         :

         int e^{u}, du

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int e^{u}, du = – int e^{u}, du

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               int e^{u}, du = e^{u}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            – e^{u}
            $$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         – e^{- y}
         $$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $$
      int – e^{- y}, dy = – int e^{- y}, dy

      1. пусть
         u = – y
         .

         Тогда пусть
         du = – dy
         и подставим
         – du
         :

         int e^{u}, du

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            int e^{u}, du = – int e^{u}, du

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               int e^{u}, du = e^{u}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            – e^{u}
            $$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         – e^{- y}
         $$

      Таким образом, результат будет: $$
      e^{- y}

3. Теперь упростить:

   – left(y + 1right) e^{- y}
   $$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   – left(y + 1right) e^{- y}+ mathrm{constant}

Ответ:

– left(y + 1right) e^{- y}+ mathrm{constant}

1
/
|
| y -1
| — dy = 1 – 2*e
| y
| E
|
/
0

0.264241117657115

/
|
| y -y -y
| — dy = C – e – y*e
| y
| E
|
/