101*x/168-y/8-z/7=-4 -x/8+3*y/4-z/8=0 -x/7-y/8+71*z/56=7

-x 3*y z
— + — – – = 0
8 4 8

-x y 71*z
— – – + —- = 7
7 8 56

-5.51316725978648

$$z_{1} = frac{1374}{281}$$
=
$$frac{1374}{281}$$
=

4.88967971530249

$$y_{1} = – frac{146}{1405}$$
=
$$- frac{146}{1405}$$
=

-0.103914590747331

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$frac{101 x}{168} – frac{y}{8} – frac{z}{7} = -4$$
$$- frac{x}{8} + frac{3 y}{4} – frac{z}{8} = 0$$
$$- frac{x}{7} – frac{y}{8} + frac{71 z}{56} = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}- frac{x_{3}}{7} + frac{101 x_{1}}{168} – frac{x_{2}}{8} – frac{x_{3}}{8} + – frac{x_{1}}{8} + frac{3 x_{2}}{4}\frac{71 x_{3}}{56} + – frac{x_{1}}{7} – frac{x_{2}}{8}end{matrix}right] = left[begin{matrix}-47end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}frac{101}{168} & – frac{1}{8} & – frac{1}{7} – frac{1}{8} & frac{3}{4} & – frac{1}{8} – frac{1}{7} & – frac{1}{8} & frac{71}{56}end{matrix}right] right )} = frac{1405}{2688}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{2688}{1405} {det}{left (left[begin{matrix}-4 & – frac{1}{8} & – frac{1}{7} & frac{3}{4} & – frac{1}{8}7 & – frac{1}{8} & frac{71}{56}end{matrix}right] right )} = – frac{7746}{1405}$$
$$x_{2} = frac{2688}{1405} {det}{left (left[begin{matrix}frac{101}{168} & -4 & – frac{1}{7} – frac{1}{8} & 0 & – frac{1}{8} – frac{1}{7} & 7 & frac{71}{56}end{matrix}right] right )} = – frac{146}{1405}$$
$$x_{3} = frac{2688}{1405} {det}{left (left[begin{matrix}frac{101}{168} & – frac{1}{8} & -4 – frac{1}{8} & frac{3}{4} & 0 – frac{1}{7} & – frac{1}{8} & 7end{matrix}right] right )} = frac{1374}{281}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$frac{101 x}{168} – frac{y}{8} – frac{z}{7} = -4$$
$$- frac{x}{8} + frac{3 y}{4} – frac{z}{8} = 0$$
$$- frac{x}{7} – frac{y}{8} + frac{71 z}{56} = 7$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} & – frac{1}{8} & – frac{1}{7} & -4 – frac{1}{8} & frac{3}{4} & – frac{1}{8} & 0 – frac{1}{7} & – frac{1}{8} & frac{71}{56} & 7end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} – frac{1}{8} – frac{1}{7}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} & – frac{1}{8} & – frac{1}{7} & -4end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{1}{8} – – frac{1}{8} & – frac{21}{808} + frac{3}{4} & – frac{1}{8} – frac{3}{101} & – frac{84}{101}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{585}{808} & – frac{125}{808} & – frac{84}{101}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} & – frac{1}{8} & – frac{1}{7} & -4 & frac{585}{808} & – frac{125}{808} & – frac{84}{101} – frac{1}{7} & – frac{1}{8} & frac{71}{56} & 7end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{1}{7} – – frac{1}{7} & – frac{1}{8} – frac{3}{101} & – frac{24}{707} + frac{71}{56} & – frac{96}{101} + 7end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{125}{808} & frac{997}{808} & frac{611}{101}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} & – frac{1}{8} & – frac{1}{7} & -4 & frac{585}{808} & – frac{125}{808} & – frac{84}{101} & – frac{125}{808} & frac{997}{808} & frac{611}{101}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{1}{8}\frac{585}{808} – frac{125}{808}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{585}{808} & – frac{125}{808} & – frac{84}{101}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} & – frac{1}{8} – – frac{1}{8} & – frac{1}{7} – frac{25}{936} & -4 – frac{28}{195}end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{101}{168} & 0 & – frac{1111}{6552} & – frac{808}{195}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} & 0 & – frac{1111}{6552} & – frac{808}{195} & frac{585}{808} & – frac{125}{808} & – frac{84}{101} & – frac{125}{808} & frac{997}{808} & frac{611}{101}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{125}{808} – – frac{125}{808} & – frac{3125}{94536} + frac{997}{808} & – frac{700}{3939} + frac{611}{101}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{281}{234} & frac{229}{39}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} & 0 & – frac{1111}{6552} & – frac{808}{195} & frac{585}{808} & – frac{125}{808} & – frac{84}{101} & 0 & frac{281}{234} & frac{229}{39}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{1111}{6552} – frac{125}{808}\frac{281}{234}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{281}{234} & frac{229}{39}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} & 0 & – frac{1111}{6552} – – frac{1111}{6552} & – frac{808}{195} – – frac{254419}{306852}end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{101}{168} & 0 & 0 & – frac{130391}{39340}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} & 0 & 0 & – frac{130391}{39340} & frac{585}{808} & – frac{125}{808} & – frac{84}{101} & 0 & frac{281}{234} & frac{229}{39}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{585}{808} & – frac{125}{808} – – frac{125}{808} & – frac{84}{101} – – frac{85875}{113524}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{585}{808} & 0 & – frac{8541}{113524}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}frac{101}{168} & 0 & 0 & – frac{130391}{39340} & frac{585}{808} & 0 & – frac{8541}{113524} & 0 & frac{281}{234} & frac{229}{39}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$frac{101 x_{1}}{168} + frac{130391}{39340} = 0$$
$$frac{585 x_{2}}{808} + frac{8541}{113524} = 0$$
$$frac{281 x_{3}}{234} – frac{229}{39} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = – frac{7746}{1405}$$
$$x_{2} = – frac{146}{1405}$$
$$x_{3} = frac{1374}{281}$$

x1 = -5.513167259786477
y1 = -0.103914590747331
z1 = 4.889679715302491