x+d=0 y+d=0 2*x+z+d=0 2*y+z+d=0

y + d = 0

2*x + z + d = 0

2*y + z + d = 0

-z

$$y_{1} = – z$$
=
$$- z$$
=

-z

$$d_{1} = z$$
=
$$z$$
=

z

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$d + x = 0$$
$$d + y = 0$$
$$d + 2 x + z = 0$$
$$d + 2 y + z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 01 & 0 & 1 & 0 & 01 & 2 & 0 & 1 & 01 & 0 & 2 & 1 & 0end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}1111end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 01 & 2 & 0 & 1 & 01 & 0 & 2 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 01 & 0 & 2 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & 2 & 1 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & 2 & 1 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -11 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 01 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 01 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 2 & 1 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 2 & 1 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 01 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 01 & 0 & 2 & 1 & 0end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}012end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 01 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}11 -1 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -111end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 01 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 01 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 01 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 & 0end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + x_{2} = 0$$
$$x_{1} + x_{3} = 0$$
$$- x_{1} + x_{4} = 0$$
$$- x_{1} + x_{4} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = – x_{2}$$
$$x_{1} = – x_{3}$$
$$x_{1} = x_{4}$$
$$x_{1} = x_{4}$$
где x2, x3, x4 – свободные переменные