x+y-z=-2 4*x-3*y+z=1 2*x+y-z=1

4*x – 3*y + z = 1

2*x + y – z = 1

3

$$z_{1} = 13$$
=
$$13$$
=

13

$$y_{1} = 8$$
=
$$8$$
=

8

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y – z = -2$$
$$4 x – 3 y + z = 1$$
$$2 x + y – z = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}- x_{3} + x_{1} + x_{2}x_{3} + 4 x_{1} – 3 x_{2} – x_{3} + 2 x_{1} + x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}-211end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & -14 & -3 & 12 & 1 & -1end{matrix}right] right )} = -2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{2} {det}{left (left[begin{matrix}-2 & 1 & -11 & -3 & 11 & 1 & -1end{matrix}right] right )} = 3$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} {det}{left (left[begin{matrix}1 & -2 & -14 & 1 & 12 & 1 & -1end{matrix}right] right )} = 8$$
$$x_{3} = – frac{1}{2} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & -24 & -3 & 12 & 1 & 1end{matrix}right] right )} = 13$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y – z = -2$$
$$4 x – 3 y + z = 1$$
$$2 x + y – z = 1$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 1 & -1 & -24 & -3 & 1 & 12 & 1 & -1 & 1end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}142end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & -1 & -2end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -7 & 5 & 9end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -7 & 5 & 9end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & -1 & -2 & -7 & 5 & 92 & 1 & -1 & 1end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 5end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & 1 & 5end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & -1 & -2 & -7 & 5 & 9 & -1 & 1 & 5end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -7 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & -7 & 5 & 9end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & -1 – – frac{5}{7} & -2 – – frac{9}{7}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{2}{7} & – frac{5}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{2}{7} & – frac{5}{7} & -7 & 5 & 9 & -1 & 1 & 5end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{5}{7} + 1 & – frac{9}{7} + 5end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{2}{7} & frac{26}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{2}{7} & – frac{5}{7} & -7 & 5 & 9 & 0 & frac{2}{7} & frac{26}{7}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{2}{7}5\frac{2}{7}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{2}{7} & frac{26}{7}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{2}{7} – – frac{2}{7} & – frac{5}{7} – – frac{26}{7}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 3 & -7 & 5 & 9 & 0 & frac{2}{7} & frac{26}{7}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -7 & 0 & -56end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -7 & 0 & -56end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 3 & -7 & 0 & -56 & 0 & frac{2}{7} & frac{26}{7}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} – 3 = 0$$
$$- 7 x_{2} + 56 = 0$$
$$frac{2 x_{3}}{7} – frac{26}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 8$$
$$x_{3} = 13$$

x1 = 3.00000000000000
y1 = 8.00000000000000
z1 = 13.0000000000000