x-y-z=0 500*x+1000*y=12 500*x+1000*z=12

500*x + 1000*y = 12

500*x + 1000*z = 12

0.0120000000000000

$$z_{1} = frac{3}{500}$$
=
$$frac{3}{500}$$
=

0.00600000000000000

$$y_{1} = frac{3}{500}$$
=
$$frac{3}{500}$$
=

0.00600000000000000

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x – y – z = 0$$
$$500 x + 1000 y = 12$$
$$500 x + 1000 z = 12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}- x_{3} + x_{1} – x_{2} x_{3} + 500 x_{1} + 1000 x_{2}1000 x_{3} + 500 x_{1} + 0 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}01212end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & -1 & -1500 & 1000 & 0500 & 0 & 1000end{matrix}right] right )} = 2000000$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{2000000} {det}{left (left[begin{matrix}0 & -1 & -112 & 1000 & 012 & 0 & 1000end{matrix}right] right )} = frac{3}{250}$$
$$x_{2} = frac{1}{2000000} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 0 & -1500 & 12 & 0500 & 12 & 1000end{matrix}right] right )} = frac{3}{500}$$
$$x_{3} = frac{1}{2000000} {det}{left (left[begin{matrix}1 & -1 & 0500 & 1000 & 12500 & 0 & 12end{matrix}right] right )} = frac{3}{500}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x – y – z = 0$$
$$500 x + 1000 y = 12$$
$$500 x + 1000 z = 12$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & -1 & -1 & 0500 & 1000 & 0 & 12500 & 0 & 1000 & 12end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}1500500end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}500 & 1000 & 0 & 12end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -3 & -1 & – frac{3}{125}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -3 & -1 & – frac{3}{125}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & -3 & -1 & – frac{3}{125}500 & 1000 & 0 & 12500 & 0 & 1000 & 12end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1000 & 1000 & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1000 & 1000 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & -3 & -1 & – frac{3}{125}500 & 1000 & 0 & 12 & -1000 & 1000 & 0end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}-31000 -1000end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & -3 & -1 & – frac{3}{125}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}500 & 0 & – frac{1000}{3} & 4end{matrix}right] = left[begin{matrix}500 & 0 & – frac{1000}{3} & 4end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & -3 & -1 & – frac{3}{125}500 & 0 & – frac{1000}{3} & 4 & -1000 & 1000 & 0end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{-1000}{3} + 1000 & 8end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{4000}{3} & 8end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & -3 & -1 & – frac{3}{125}500 & 0 & – frac{1000}{3} & 4 & 0 & frac{4000}{3} & 8end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}-1 – frac{1000}{3}\frac{4000}{3}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{4000}{3} & 8end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -3 & 0 & – frac{3}{125} – – frac{3}{500}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -3 & 0 & – frac{9}{500}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & -3 & 0 & – frac{9}{500}500 & 0 & – frac{1000}{3} & 4 & 0 & frac{4000}{3} & 8end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}500 & 0 & – frac{1000}{3} – – frac{1000}{3} & 6end{matrix}right] = left[begin{matrix}500 & 0 & 0 & 6end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & -3 & 0 & – frac{9}{500}500 & 0 & 0 & 6 & 0 & frac{4000}{3} & 8end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 3 x_{2} + frac{9}{500} = 0$$
$$500 x_{1} – 6 = 0$$
$$frac{4000 x_{3}}{3} – 8 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = frac{3}{500}$$
$$x_{1} = frac{3}{250}$$
$$x_{3} = frac{3}{500}$$

x1 = 0.0120000000000000
y1 = 0.00600000000000000
z1 = 0.00600000000000000