x-y+z=3 x+y+c=2 8*z-3*c+4*x=10*sqrt(2)+3 3*z+8*c+4*y=10*sqrt(2)+1

$$z + x – y = 3$$

x + y + c = 2

$$c + x + y = 2$$

___
8*z – 3*c + 4*x = 10*/ 2 + 3

$$4 x + – 3 c + 8 z = 3 + 10 sqrt{2}$$

___
3*z + 8*c + 4*y = 10*/ 2 + 1

$$4 y + 8 c + 3 z = 1 + 10 sqrt{2}$$

$$c_{1} = frac{10 sqrt{2}}{61} + frac{53}{61}$$
=
$$frac{10 sqrt{2}}{61} + frac{53}{61}$$
=

1.10069074793002

$$x_{1} = – frac{60 sqrt{2}}{61} + frac{279}{122}$$
=
$$- frac{60 sqrt{2}}{61} + frac{279}{122}$$
=

0.895855512419906

$$z_{1} = – frac{27}{61} + frac{110 sqrt{2}}{61}$$
=
$$- frac{27}{61} + frac{110 sqrt{2}}{61}$$
=

2.10759822723017

$$y_{1} = – frac{141}{122} + frac{50 sqrt{2}}{61}$$
=
$$- frac{141}{122} + frac{50 sqrt{2}}{61}$$
=

0.00345373965007791

$$z + x – y = 3$$
$$c + x + y = 2$$
$$4 x + – 3 c + 8 z = 3 + 10 sqrt{2}$$
$$4 y + 8 c + 3 z = 1 + 10 sqrt{2}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x – y + z = 3$$
$$c + x + y = 2$$
$$- 3 c + 4 x + 8 z – 10 sqrt{2} – 3 = 0$$
$$8 c + 4 y + 3 z – 10 sqrt{2} – 1 = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{4} + – x_{3} + 0 x_{1} + x_{2} x_{4} + x_{3} + x_{1} + x_{2}8 x_{4} + 0 x_{3} + – 3 x_{1} + 4 x_{2}3 x_{4} + 4 x_{3} + 8 x_{1} + 0 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}323 + 10 sqrt{2}1 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 11 & 1 & 1 & 0 -3 & 4 & 0 & 88 & 0 & 4 & 3end{matrix}right] right )} = -122$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{122} {det}{left (left[begin{matrix}3 & 1 & -1 & 12 & 1 & 1 & 03 + 10 sqrt{2} & 4 & 0 & 81 + 10 sqrt{2} & 0 & 4 & 3end{matrix}right] right )} = frac{10 sqrt{2}}{61} + frac{53}{61}$$
$$x_{2} = – frac{1}{122} {det}{left (left[begin{matrix}0 & 3 & -1 & 11 & 2 & 1 & 0 -3 & 3 + 10 sqrt{2} & 0 & 88 & 1 + 10 sqrt{2} & 4 & 3end{matrix}right] right )} = – frac{60 sqrt{2}}{61} + frac{279}{122}$$
$$x_{3} = – frac{1}{122} {det}{left (left[begin{matrix}0 & 1 & 3 & 11 & 1 & 2 & 0 -3 & 4 & 3 + 10 sqrt{2} & 88 & 0 & 1 + 10 sqrt{2} & 3end{matrix}right] right )} = – frac{141}{122} + frac{50 sqrt{2}}{61}$$
$$x_{4} = – frac{1}{122} {det}{left (left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 31 & 1 & 1 & 2 -3 & 4 & 0 & 3 + 10 sqrt{2}8 & 0 & 4 & 1 + 10 sqrt{2}end{matrix}right] right )} = – frac{27}{61} + frac{110 sqrt{2}}{61}$$

Дана система ур-ний
$$z + x – y = 3$$
$$c + x + y = 2$$
$$4 x + – 3 c + 8 z = 3 + 10 sqrt{2}$$
$$4 y + 8 c + 3 z = 1 + 10 sqrt{2}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x – y + z = 3$$
$$c + x + y = 2$$
$$- 3 c + 4 x + 8 z – 10 sqrt{2} – 3 = 0$$
$$8 c + 4 y + 3 z – 10 sqrt{2} – 1 = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 1 & 31 & 1 & 1 & 0 & 2 -3 & 4 & 0 & 8 & 3 + 10 sqrt{2}8 & 0 & 4 & 3 & 1 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}01 -38end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 & 2end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 7 & 3 & 8 & 6 + 3 + 10 sqrt{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 7 & 3 & 8 & 9 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 1 & 31 & 1 & 1 & 0 & 2 & 7 & 3 & 8 & 9 + 10 sqrt{2}8 & 0 & 4 & 3 & 1 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -8 & -4 & 3 & -16 + 1 + 10 sqrt{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -8 & -4 & 3 & -15 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 1 & 31 & 1 & 1 & 0 & 2 & 7 & 3 & 8 & 9 + 10 sqrt{2} & -8 & -4 & 3 & -15 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}117 -8end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 1 & 3end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 2 & -1 & -1end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 2 & -1 & -1end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 1 & 31 & 0 & 2 & -1 & -1 & 7 & 3 & 8 & 9 + 10 sqrt{2} & -8 & -4 & 3 & -15 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 10 & 1 & -21 + 9 + 10 sqrt{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 10 & 1 & -12 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 1 & 31 & 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 10 & 1 & -12 + 10 sqrt{2} & -8 & -4 & 3 & -15 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -12 & 11 & -15 + 10 sqrt{2} + 24end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -12 & 11 & 9 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & -1 & 1 & 31 & 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 10 & 1 & -12 + 10 sqrt{2} & 0 & -12 & 11 & 9 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}-1210 -12end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 10 & 1 & -12 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & – frac{-1}{10} + 1 & – – sqrt{2} + frac{6}{5} + 3end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & frac{11}{10} & sqrt{2} + frac{9}{5}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & frac{11}{10} & sqrt{2} + frac{9}{5}1 & 0 & 2 & -1 & -1 & 0 & 10 & 1 & -12 + 10 sqrt{2} & 0 & -12 & 11 & 9 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & -1 – frac{1}{5} & -1 – – frac{12}{5} + 2 sqrt{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & – frac{6}{5} & – 2 sqrt{2} + frac{7}{5}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & frac{11}{10} & sqrt{2} + frac{9}{5}1 & 0 & 0 & – frac{6}{5} & – 2 sqrt{2} + frac{7}{5} & 0 & 10 & 1 & -12 + 10 sqrt{2} & 0 & -12 & 11 & 9 + 10 sqrt{2}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & – frac{-6}{5} + 11 & – – 12 sqrt{2} + frac{72}{5} + 9 + 10 sqrt{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{61}{5} & – frac{27}{5} + 22 sqrt{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & frac{11}{10} & sqrt{2} + frac{9}{5}1 & 0 & 0 & – frac{6}{5} & – 2 sqrt{2} + frac{7}{5} & 0 & 10 & 1 & -12 + 10 sqrt{2} & 0 & 0 & frac{61}{5} & – frac{27}{5} + 22 sqrt{2}end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{11}{10} – frac{6}{5}1\frac{61}{5}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & frac{61}{5} & – frac{27}{5} + 22 sqrt{2}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & – frac{11}{10} + frac{11}{10} & – – frac{297}{610} + frac{121 sqrt{2}}{61} + sqrt{2} + frac{9}{5}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & – frac{60 sqrt{2}}{61} + frac{279}{122}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & – frac{60 sqrt{2}}{61} + frac{279}{122}1 & 0 & 0 & – frac{6}{5} & – 2 sqrt{2} + frac{7}{5} & 0 & 10 & 1 & -12 + 10 sqrt{2} & 0 & 0 & frac{61}{5} & – frac{27}{5} + 22 sqrt{2}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & – frac{6}{5} – – frac{6}{5} & – 2 sqrt{2} + frac{7}{5} – – frac{132 sqrt{2}}{61} + frac{162}{305}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & frac{10 sqrt{2}}{61} + frac{53}{61}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & – frac{60 sqrt{2}}{61} + frac{279}{122}1 & 0 & 0 & 0 & frac{10 sqrt{2}}{61} + frac{53}{61} & 0 & 10 & 1 & -12 + 10 sqrt{2} & 0 & 0 & frac{61}{5} & – frac{27}{5} + 22 sqrt{2}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 10 & 0 & – – frac{27}{61} + frac{110 sqrt{2}}{61} + -12 + 10 sqrt{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 10 & 0 & – frac{705}{61} + frac{500 sqrt{2}}{61}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & – frac{60 sqrt{2}}{61} + frac{279}{122}1 & 0 & 0 & 0 & frac{10 sqrt{2}}{61} + frac{53}{61} & 0 & 10 & 0 & – frac{705}{61} + frac{500 sqrt{2}}{61} & 0 & 0 & frac{61}{5} & – frac{27}{5} + 22 sqrt{2}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{2} – frac{279}{122} + frac{60 sqrt{2}}{61} = 0$$
$$x_{1} – frac{53}{61} – frac{10 sqrt{2}}{61} = 0$$
$$10 x_{3} – frac{500 sqrt{2}}{61} + frac{705}{61} = 0$$
$$frac{61 x_{4}}{5} – 22 sqrt{2} + frac{27}{5} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = – frac{60 sqrt{2}}{61} + frac{279}{122}$$
$$x_{1} = frac{10 sqrt{2}}{61} + frac{53}{61}$$
$$x_{3} = – frac{141}{122} + frac{50 sqrt{2}}{61}$$
$$x_{4} = – frac{27}{61} + frac{110 sqrt{2}}{61}$$

c1 = 1.100690747930016
x1 = 0.8958555124199065
y1 = 0.003453739650077909
z1 = 2.107598227230171