x1+x2+x3=0 30=x1*30+x3*20 23=x2*50+x3*20

30 = x1*30 + x3*20

23 = x2*50 + x3*20

21.9

$$x_{11} = – frac{68}{5}$$
=
$$- frac{68}{5}$$
=

-13.6

$$x_{21} = – frac{83}{10}$$
=
$$- frac{83}{10}$$
=

-8.3

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$- 30 x_{1} – 20 x_{3} = -30$$
$$- 50 x_{2} – 20 x_{3} = -23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{3} + x_{1} + x_{2} – 20 x_{3} + – 30 x_{1} + 0 x_{2} – 20 x_{3} + 0 x_{1} – 50 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 -30 -23end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & 1 -30 & 0 & -20 & -50 & -20end{matrix}right] right )} = -100$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{100} {det}{left (left[begin{matrix}0 & 1 & 1 -30 & 0 & -20 -23 & -50 & -20end{matrix}right] right )} = – frac{68}{5}$$
$$x_{2} = – frac{1}{100} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 0 & 1 -30 & -30 & -20 & -23 & -20end{matrix}right] right )} = – frac{83}{10}$$
$$x_{3} = – frac{1}{100} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & 0 -30 & 0 & -30 & -50 & -23end{matrix}right] right )} = frac{219}{10}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$- 30 x_{1} – 20 x_{3} = -30$$
$$- 50 x_{2} – 20 x_{3} = -23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 -30 & 0 & -20 & -30 & -50 & -20 & -23end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -30end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}-30 & 0 & -20 & -30end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & – frac{2}{3} + 1 & -1end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & frac{1}{3} & -1end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & frac{1}{3} & -1 -30 & 0 & -20 & -30 & -50 & -20 & -23end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -50end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 1 & frac{1}{3} & -1end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -20 – – frac{50}{3} & -73end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{10}{3} & -73end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & frac{1}{3} & -1 -30 & 0 & -20 & -30 & 0 & – frac{10}{3} & -73end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{1}{3} -20 – frac{10}{3}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{10}{3} & -73end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 1 & – frac{1}{3} + frac{1}{3} & – frac{73}{10} – 1end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & – frac{83}{10}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & – frac{83}{10} -30 & 0 & -20 & -30 & 0 & – frac{10}{3} & -73end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-30 & 0 & 0 & 408end{matrix}right] = left[begin{matrix}-30 & 0 & 0 & 408end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 1 & 0 & – frac{83}{10} -30 & 0 & 0 & 408 & 0 & – frac{10}{3} & -73end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{2} + frac{83}{10} = 0$$
$$- 30 x_{1} – 408 = 0$$
$$- frac{10 x_{3}}{3} + 73 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = – frac{83}{10}$$
$$x_{1} = – frac{68}{5}$$
$$x_{3} = frac{219}{10}$$

x11 = -13.6000000000000
x21 = -8.30000000000000
x31 = 21.9000000000000