x1+x2+x3=22 3*x1+2*x2+x3=47 x1+3*x2-x3=18

3*x1 + 2*x2 + x3 = 47

x1 + 3*x2 – x3 = 18

7

$$x_{11} = 10$$
=
$$10$$
=

10

$$x_{21} = 5$$
=
$$5$$
=

5

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 22$$
$$3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 47$$
$$x_{1} + 3 x_{2} – x_{3} = 18$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{3} + x_{1} + x_{2}x_{3} + 3 x_{1} + 2 x_{2} – x_{3} + x_{1} + 3 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}224718end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & 13 & 2 & 11 & 3 & -1end{matrix}right] right )} = 6$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{6} {det}{left (left[begin{matrix}22 & 1 & 147 & 2 & 118 & 3 & -1end{matrix}right] right )} = 10$$
$$x_{2} = frac{1}{6} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 22 & 13 & 47 & 11 & 18 & -1end{matrix}right] right )} = 5$$
$$x_{3} = frac{1}{6} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1 & 223 & 2 & 471 & 3 & 18end{matrix}right] right )} = 7$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 22$$
$$3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 47$$
$$x_{1} + 3 x_{2} – x_{3} = 18$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 223 & 2 & 1 & 471 & 3 & -1 & 18end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}131end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 22end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & -2 & -19end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & -2 & -19end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 22 & -1 & -2 & -191 & 3 & -1 & 18end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 2 & -2 & -4end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 2 & -2 & -4end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & 1 & 22 & -1 & -2 & -19 & 2 & -2 & -4end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -12end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & -1 & -2 & -19end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & -1 & 3end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & -1 & 3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & -1 & 3 & -1 & -2 & -19 & 2 & -2 & -4end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -6 & -42end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & -6 & -42end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & -1 & 3 & -1 & -2 & -19 & 0 & -6 & -42end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}-1 -2 -6end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & -6 & -42end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 10end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 10end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 10 & -1 & -2 & -19 & 0 & -6 & -42end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & 0 & -5end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & 0 & -5end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & 0 & 10 & -1 & 0 & -5 & 0 & -6 & -42end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} – 10 = 0$$
$$- x_{2} + 5 = 0$$
$$- 6 x_{3} + 42 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 7$$

x11 = 10.0000000000000
x21 = 5.00000000000000
x31 = 7.00000000000000