x*65-y*30-z*15=130-90 (-x)*30+y*105-z*50=-30+90 (-x)*15-y*50+z*85=-30+100

-x*30 + y*105 – z*50 = 60

-x*15 – y*50 + z*85 = 70

2.45963302752294

$$z_{1} = frac{3039}{1090}$$
=
$$frac{3039}{1090}$$
=

2.78807339449541

$$y_{1} = frac{1418}{545}$$
=
$$frac{1418}{545}$$
=

2.60183486238532

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$65 x – 30 y – 15 z = 40$$
$$- 30 x + 105 y – 50 z = 60$$
$$- 15 x – 50 y + 85 z = 70$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}- 15 x_{3} + 65 x_{1} – 30 x_{2} – 50 x_{3} + – 30 x_{1} + 105 x_{2}85 x_{3} + – 15 x_{1} – 50 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}406070end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}65 & -30 & -15 -30 & 105 & -50 -15 & -50 & 85end{matrix}right] right )} = 272500$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{272500} {det}{left (left[begin{matrix}40 & -30 & -1560 & 105 & -5070 & -50 & 85end{matrix}right] right )} = frac{2681}{1090}$$
$$x_{2} = frac{1}{272500} {det}{left (left[begin{matrix}65 & 40 & -15 -30 & 60 & -50 -15 & 70 & 85end{matrix}right] right )} = frac{1418}{545}$$
$$x_{3} = frac{1}{272500} {det}{left (left[begin{matrix}65 & -30 & 40 -30 & 105 & 60 -15 & -50 & 70end{matrix}right] right )} = frac{3039}{1090}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$65 x – 30 y – 15 z = 40$$
$$- 30 x + 105 y – 50 z = 60$$
$$- 15 x – 50 y + 85 z = 70$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}65 & -30 & -15 & 40 -30 & 105 & -50 & 60 -15 & -50 & 85 & 70end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}65 -30 -15end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}65 & -30 & -15 & 40end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{180}{13} + 105 & -50 – frac{90}{13} & – frac{-240}{13} + 60end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{1185}{13} & – frac{740}{13} & frac{1020}{13}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}65 & -30 & -15 & 40 & frac{1185}{13} & – frac{740}{13} & frac{1020}{13} -15 & -50 & 85 & 70end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -50 – frac{90}{13} & – frac{45}{13} + 85 & – frac{-120}{13} + 70end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{740}{13} & frac{1060}{13} & frac{1030}{13}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}65 & -30 & -15 & 40 & frac{1185}{13} & – frac{740}{13} & frac{1020}{13} & – frac{740}{13} & frac{1060}{13} & frac{1030}{13}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}-30\frac{1185}{13} – frac{740}{13}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{1185}{13} & – frac{740}{13} & frac{1020}{13}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}65 & 0 & – frac{1480}{79} – 15 & – frac{-2040}{79} + 40end{matrix}right] = left[begin{matrix}65 & 0 & – frac{2665}{79} & frac{5200}{79}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}65 & 0 & – frac{2665}{79} & frac{5200}{79} & frac{1185}{13} & – frac{740}{13} & frac{1020}{13} & – frac{740}{13} & frac{1060}{13} & frac{1030}{13}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{740}{13} – – frac{740}{13} & – frac{109520}{3081} + frac{1060}{13} & – frac{-50320}{1027} + frac{1030}{13}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & frac{10900}{237} & frac{10130}{79}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}65 & 0 & – frac{2665}{79} & frac{5200}{79} & frac{1185}{13} & – frac{740}{13} & frac{1020}{13} & 0 & frac{10900}{237} & frac{10130}{79}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}- frac{2665}{79} – frac{740}{13}\frac{10900}{237}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & frac{10900}{237} & frac{10130}{79}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}65 & 0 & – frac{2665}{79} – – frac{2665}{79} & frac{5200}{79} – – frac{1619787}{17222}end{matrix}right] = left[begin{matrix}65 & 0 & 0 & frac{34853}{218}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}65 & 0 & 0 & frac{34853}{218} & frac{1185}{13} & – frac{740}{13} & frac{1020}{13} & 0 & frac{10900}{237} & frac{10130}{79}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{1185}{13} & – frac{740}{13} – – frac{740}{13} & frac{1020}{13} – – frac{224886}{1417}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{1185}{13} & 0 & frac{336066}{1417}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}65 & 0 & 0 & frac{34853}{218} & frac{1185}{13} & 0 & frac{336066}{1417} & 0 & frac{10900}{237} & frac{10130}{79}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$65 x_{1} – frac{34853}{218} = 0$$
$$frac{1185 x_{2}}{13} – frac{336066}{1417} = 0$$
$$frac{10900 x_{3}}{237} – frac{10130}{79} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{2681}{1090}$$
$$x_{2} = frac{1418}{545}$$
$$x_{3} = frac{3039}{1090}$$

x1 = 2.459633027522936
y1 = 2.601834862385321
z1 = 2.788073394495413