a) Чтобы найти угол между векторами, нужно найти скалярное произведение этих векторов и использовать формулу для нахождения угла:
AB ⋅ CD = |AB| ⋅ |CD| ⋅ cos(θ),
где θ – искомый угол.
AB = (3 – (-1), 0 – 2, 1 – 1) = (4, -2, 0),
CD = (2 – 2, 1 – (-1), 2 – 0) = (0, 2, 2).
AB ⋅ CD = 4 ⋅ 0 + (-2) ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 = -4.
|AB| = √(4^2 + (-2)^2 + 0^2) = √20,
|CD| = √(0^2 + 2^2 + 2^2) = √8.
Теперь мы можем найти угол:
-4 = √20 ⋅ √8 ⋅ cos(θ).
cos(θ) = -4 / (√20 ⋅ √8).
θ = arccos(-4 / (√20 ⋅ √8)).
b) Чтобы найти расстояние между серединами отрезков АВ и CD, нужно найти середины этих отрезков и использовать формулу для расстояния между точками:
М1 = ((-1 + 3) / 2, (2 + 0) / 2, (1 + 1) / 2) = (1, 1, 1),
М2 = ((2 + 2) / 2, (-1 + 1) / 2, (0 + 2) / 2) = (2, 0, 1).
Теперь мы можем найти расстояние:
d = √((1 – 2)^2 + (1 – 0)^2 + (1 – 1)^2) = √2.