Дано уравнение: √(6x-2) = x³ + 1.
1. Избавимся от корня поставив оба выражения равными:
6x-2 = (x³ + 1)².
2. Раскроем квадрат в правой части:
6x-2 = x^6 + 2x³ + 1.
3. Перенесем все элементы в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
x^6 + 2x³ – 6x + 3 = 0.
4. Заменим переменную x^3 = t. Тогда получим новое кубическое уравнение:
t^2 + 2t – 6t + 3 = 0.
5. Упрощаем уравнение:
t^2 – 4t + 3 = 0.
6. Разложим квадратный трехчлен на множители:
(t – 3)(t – 1) = 0.
7. Находим значения t:
t₁ = 3, t₂ = 1.
8. Подставим обратно x^3 вместо t:
x^3 = 3, x^3 = 1.
9. Решим кубические уравнения:
x₁ = ∛3, x₂ = 1.
10. Проверяем полученные значения, подставляя их в исходное уравнение.
Таким образом, уравнение √(6x-2) = x³ + 1 имеет два корня: x₁ = ∛3 и x₂ = 1.