Чтобы решить данный интеграл, сначала раскроем скобки в знаменателе:
(x – 1)^2 (x + 1) = (x^2 – 2x + 1)(x + 1) = x^3 – x^2 – 2x + x^2 + 2x + 1 = x^3 + 1
Теперь интегрируем:
∫ (x – 1)^2 (x + 1) dx = ∫ (x^3 + 1) dx
Проинтегрируем каждый слагаемый по отдельности:
∫ x^3 dx = (1/4)x^4 + C1
∫ 1 dx = x + C2
Собираем все вместе:
∫ (x – 1)^2 (x + 1) dx = (1/4)x^4 + x + C
Где C1 и C2 – произвольные постоянные интегрирования, а C – итоговая постоянная интегрирования. Что значит “постоянная интегрирования”? Просто это число, которое мы добавляем к ответу для того, чтобы включить все возможные постоянные, которые могут появиться в процессе интегрирования.