⦁ Имеются изделия четырех сотов, причем число изделий i-го сорта равно , i=1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них первосортных, , , второго, третьего и четвертого сорта соответственно . =1, =2, =3, =4, =1, =1, =2, =3.

Задача сводится к расчету вероятности появления определенного количества изделий каждого сорта.

Шаги решения:
1. Рассмотрим общее количество возможных комбинаций изделий, которые могут быть отобраны для контроля наудачу. По принципу комбинаторики это равно количеству сочетаний из общего числа изделий, то есть:

Всего сочетаний = С(Т, т) = (Т!) / (т! * (Т-т)!)

где Т – общее количество изделий, т – количество изделий, которые берутся для контроля наудачу.

2. Рассчитаем количество комбинаций, в которых первосортные изделия представлены определенным количеством. Это равно количеству сочетаний из числа первосортных изделий, при условии, что они все отобраны для контроля наудачу:

Комбинации из первосортных = С(, )

где – количество первосортных изделий, – количество первосортных изделий, которые берутся для контроля наудачу.

Аналогично можно рассчитать и для остальных сортов изделий.

3. Рассчитаем вероятность каждого события, разделив количество комбинаций, представляющих определенное количество изделий каждого сорта, на общее количество возможных комбинаций:

Вероятность первосортных = (Комбинации из первосортных) / (Всего сочетаний)

Аналогично рассчитаем и для остальных сортов изделий.

4. В итоге получим искомые вероятности: вероятность первого сорта, вероятность второго сорта, вероятность третьего сорта и вероятность четвертого сорта.

Пример:

Допустим, у нас имеется 10 изделий: 3 первого сорта, 2 второго сорта, 2 третьего сорта и 3 четвертого сорта. Нужно выбрать 4 изделия для контроля наудачу.

1. Всего сочетаний = С(10, 4) = (10!) / (4! * (10-4)!) = 210.

2. Комбинации из первого сорта = С(3, 4) = 0, так как невозможно отобрать 4 изделия первого сорта, если их всего 3.

3. Комбинации из второго сорта = С(2, 2) = 1, так как есть только один способ выбрать 2 изделия второго сорта из двух.

4. Комбинации из третьего сорта = С(2, 0) = 1, так как есть только один способ не выбрать изделия третьего сорта.

5. Комбинации из четвертого сорта = С(3, 0) = 1, так как есть только один способ не выбрать изделия четвертого сорта.

6. Вероятность первого сорта = 0/210 = 0

7. Вероятность второго сорта = 1/210 ≈ 0.0048

8. Вероятность третьего сорта = 1/210 ≈ 0.0048

9. Вероятность четвертого сорта = 1/210 ≈ 0.0048

Таким образом, вероятность появления первого сорта равна 0, а вероятности появления второго, третьего и четвертого сортов равны примерно 0.0048.