1. , 7. , 13. 2. 8. 14. = √ 4 5 3. , 9. , 15. 4. , 10. , 16. . 5. , 11. = −3 ⋅ 17. 6. 12. 18. 16. Найти производные функций: ( ) = (5 3 + 1) √ ⋅ ( ) = 1 − 2 − ⋅ 2 ( ) = (2 3 + 4х 2 ) ⋅ ⋅ ( ) = 7 − 2 √ ⋅ ( ) = 2 − 9х + ( 3 − 5 ) 17. Найти производные сложных функций: 1. 2. 3. 4. 3 2 y = x y 2log x 7x = 3 + 3 2 4 3 5 2 x x y = x + − 3 3 3 3 2 8 4 x x x y = x

Для решения задачи мы будем использовать правила дифференцирования функций.
1. Производная функции = (5 ^3 + 1)√ ⋅ :
– Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
– Первое слагаемое: (5 ^3 + 1)’ = 15 ^2
– Второе слагаемое: √ ‘⋅ + √ ⋅ ‘
– Производная корня √ : (√ )’ = 1/(2√ )
– Производная косинуса : ( )’ = –
– Собираем все слагаемые:
– 15 ^2√ ⋅ + √ /(2√ )⋅ – √ ⋅
– Упрощаем: 15 ^2√ ⋅ + 1/2⋅ – √ ⋅ .
2. Производная функции ( ) = 1 – ^( ^2) – ⋅ ^2( ):
– Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
– Первое слагаемое: (1)’ = 0
– Второе слагаемое: ^( ^2)’ = 2 ⋅ ^( ^2)
– Третье слагаемое: ‘⋅ ^2( ) + ⋅ ^2( )’
– Производная синуса : ( )’ =
– Производная логарифма ^2( ): ( ^2( ))’ = 2/
– Собираем все слагаемые:
– 0 – 2 ⋅ ^( ^2) – ⋅2/ + ⋅2/
– Упрощаем: – 2 ⋅ ^( ^2) + 2 .
3. Производная функции ( ) = (2 ^3 + 4 ^2)⋅ ^ ⋅ :
– Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
– Первое слагаемое: (2 ^3 + 4 ^2)’ = 6 ^2 + 8
– Второе слагаемое: ^ ⋅ + ^ ⋅ ‘
– Производная экспоненты ^ : ( ^ )’ = ^
– Производная логарифма : ( )’ = 1/
– Собираем все слагаемые:
– (6 ^2 + 8 )⋅ ^ ⋅ + ^ /( )
– Упрощаем: (6 ^2 + 8 )⋅ ^ ⋅ + ^ /( ).
4. Производная функции ( ) = 7 – ^2√ ⋅ :
– Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
– Первое слагаемое: (7)’ = 0
– Второе слагаемое: – ^2√ ⋅ + (- ^2√ )’⋅ + (- ^2√ )⋅( )’
– Производная квадрата корня √ : (- ^2√ )’ = -2 √ – ^3/(2√ )
– Производная тангенса : ( )’ = 1/( ^2 )
– Собираем все слагаемые:
– 0 – ^2√ ⋅ + (-2 √ – ^3/(2√ ))⋅ – ^2√ /( ^2 )
– Упрощаем: – ^2√ ⋅ – 2 ^2√ ⋅ + ^3/(2√ ) – ^2√ /( ^2 ).
5. Производная функции ( ) = ⋅( ^2 – 9 + ( ^3 – 5 ) ):
– Дифференцируем каждое слагаемое по отдельности:
– Первое слагаемое: ( )’ =
– Второе слагаемое: ^2 – 9 + ( ^3 – 5 )
– Производная ^2: ( ^2)’ = 2
– Производная -9 : (-9 )’ = -9
– Производная ^3: ( ^3)’ = 3 ^2
– Производная -5 : (-5 )’ = -5
– Производная косинуса : ( )’ = –
– Собираем все слагаемые:
– ⋅(2 – 9 + 3 ^2 – 5) – ⋅( ^2 – 9)
– Упрощаем: 2 – 9 + 3 ^2 – 5 + ^2 – 9 .
6. Производная функции = ^(3/2)⋅ ^(2 ):
– Заменяем у на : = ^(3/2)⋅ ^(2 ) = ^(3/2)⋅ ^(2 )
– Прологарифмируем обе части уравнения: = ( ^(3/2)⋅ ^(2 ))
– Применим логарифмическое правило ( ⋅ ) = + :
– = (3/2) + 2 ⋅
– Перенесем все слагаемые с у на одну сторону уравнения:
– (1 – 2 ) = (3/2)
– Разделим обе части уравнения на (1 – 2 ):
– = (3/2) / (1 – 2 )
– Применим экспоненциальную функцию к обеим сторонам уравнения: = ^((3/2) / (1 – 2 )).
7. Производная функции = 7 – ^2 + ^√ :
– Заменяем у на : = 7 – ^2 + ^√
– Дифференцируем обе части уравнения по : ‘ = (7 – ^2)’ + ( ^√ )’
– Производная константы 7 : (7 )’ = 7
– Производная ^2: ( ^2)’ = 2
– Производная функции у^√ : ( ^√ )’ = ( ^(1/√ ))’ = (√ ^(1/√ – 1))⋅ ‘ = (√ ^(1/√ – 1))⋅ ‘
– Подставляем значения производных:
– ‘ = 7 – 2 + (√ ^(1/√ – 1))⋅ ‘
– Переносим все слагаемые с ‘ на одну сторону уравнения:
– ‘ – (√ ^(1/√ – 1))⋅ ‘ = 7 – 2
– Факторизуем левую часть уравнения:
– (1 – √ ^(1/√ – 1)) ‘ = 7 – 2
– Разделим обе части уравнения на (1 – √ ^(1/√ – 1)):
– ‘ = (7 – 2 ) / (1 – √ ^(1/√ – 1)).