а) Для начала рассмотрим уравнение (а). Мы видим, что это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для решения умножим уравнение на интегрирующий множитель, равный (e^{-x^2/2}). После упрощения уравнения получим (frac{d}{dx}(ye^{-x^2/2})=0). Интегрируя это уравнение, получим общее решение уравнения (а): (ye^{-x^2/2}=C), где C – произвольная постоянная.
б) Перейдем к уравнению (б). Заметим, что оно также является уравнением в полных дифференциалах. Умножим оба его части на (x) и рассмотрим функцию (xy). Получим (frac{d(xy)}{dx}=1). Проинтегрируем это уравнение и найдем общее решение: (xy=x+C), где C – постоянная.
в) Перейдем к уравнению (в). Сначала найдем общее решение однородного уравнения (y”’+y=0). Для этого предположим, что общее решение имеет вид (y=e^{rx}). Подставим это предположение в уравнение и найдем характеристическое уравнение: (r^3+1=0). Решив его, получим три корня: (r=-1, frac{1+sqrt{3}i}{2}, frac{1-sqrt{3}i}{2}). Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид (y=C_1e^{-x}+C_2cos(frac{sqrt{3}}{2}x)+C_3sin(frac{sqrt{3}}{2}x)), где (C_1, C_2, C_3) – произвольные постоянные.
Теперь перейдем к нахождению частного решения неоднородного уравнения. Подставим (f(x)=24sin^2(2x)) в уравнение и найдем частное решение. Затем сложим частное решение и общее решение однородного уравнения, чтобы получить общее решение неоднородного уравнения.