Данное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
(1+sin(x))*y” = cos(x)*y’
Для его решения мы можем использовать метод введения новой функции z = y’, чтобы сократить порядок уравнения.
1. Введем новую функцию z = y’. Тогда получим следующую систему уравнений:
z = y’
(1+sin(x))*z’ = cos(x)*z
2. Теперь решим полученную систему методом разделения переменных. Разделим обе части первого уравнения на y’:
z/y’ = 1
3. Дифференцируем полученное уравнение по x:
(z/y’)’ = 1′
(z’ * y’ – z * y”) / (y’)^2 = 0
z’ * y’ – z * y” = 0
4. Подставим это уравнение во второе уравнение системы:
(1+sin(x))*z’ = cos(x)*z
(1+sin(x))*(z’ * y’ – z * y”) = cos(x)*z
5. Делим обе части уравнения на (1+sin(x)):
z’ * y’ – z * y” = (cos(x)*z) / (1+sin(x))
6. Подставляем z = y’ и y” = z’, получаем:
(y’)^2 – y’ * z’ = (cos(x)*z) / (1+sin(x))
7. Перепишем полученное уравнение в виде:
(y’)^2 = y’ * z’ + (cos(x)*z) / (1+sin(x))
8. Решаем это дифференциальное уравнение первого порядка относительно y’:
(y’)^2 – y’ * z’ – (cos(x)*z) / (1+sin(x)) = 0
9. Решаем это уравнение относительно y’.
10. Подставляем решение y’ в уравнение z = y’ и находим y(x).
Таким образом, мы решаем исходное дифференциальное уравнение второго порядка, используя метод введения новой функции и метод разделения переменных.