1) В урне 2m белых и 2n чёрных шаров. Из урны вынимается m+n шаров. Случайная величина z – число вынутых белых шаров. а) Написать таблицу распределения z б) Найти функцию распределения F(z) и построить её график в) Найти математическое ожидание М(z) г) Найти дисперсию D(z) д) Найти Р(1≤z≤m+1)

Имеем урну с 2m белыми шарами и 2n чёрными шарами. В данной задаче будем рассматривать случай, когда из урны вынимается m+n шаров. Случайная величина z равна числу вынутых белых шаров.

а) Найдем вероятности P(z=k), где k – возможное число вынутых белых шаров.

Так как мы вынимаем m+n шаров, всего возможно m+n+1 значений z (от 0 до m+n).

P(z=0) – вероятность вынуть 0 белых шаров. Для этого нужно вынуть m+n чёрных шаров из m+n шаров, что равно (2n / (2m+2n))^(m+n) = ((2n) / (2m+2n))^m * ((2n) / (2m+2n))^n = (2n / 2m+2n)^m * (2n / 2m+2n)^n = (n / m+n)^m * (n / m+n)^n = (n / m+n)^(m+n) = C(m+n,n) * (n / m+n)^n = C(m+n,n) * (1-m/n)^n

P(z=1) – вероятность вынуть 1 белый шар. Для этого нужно выбрать 1 белый и m+n-1 чёрных шаров из m+n шаров, что равно C(m+n,1) * (2m / 2m+2n) * (2n / 2m+2n)^(m+n-1) = C(m+n,1) * (m/n) * (n/(m+n))^n * (n/(m+n))^(m+n-1) = (m+n)! / (1!*(m+n-1)!) * (m/n) * (n / m+n)^n * (n / m+n)^(m+n-1) = (m+n)! / ((m+n-1)!) * (m/n) * (n / m+n)^n = (m+n) * (m+n-1)! / (m+n-1)! * (m/n) * (n / m+n)^n = m * (n / m+n)^n

Аналогично, P(z=2) = C(m+n,2) * (m/n)^2 * (n / m+n)^(m+n-2) = C(m+n,2) * (m/n)^2

И так далее, для P(z=k):
P(z=k) = C(m+n,k) * (m/n)^k * (n / m+n)^(m+n-k)

Таблица распределения z:
z | 0 | 1 | 2 | … | m+n
P(z) | p(0) | p(1) | p(2) | … | p(m+n)

б) Функция распределения F(z) – это сумма вероятностей P(z’) для всех z’ <= z: F(z) = P(z=0) + P(z=1) + ... + P(z=z) Функция распределения F(z): z | 0 | 1 | 2 | ... | m+n F(z) | p(0) | p(0)+p(1) | p(0)+p(1)+p(2) | ... | 1 г) Математическое ожидание M(z) - это сумма произведений значений z на соответствующие вероятности P(z): M(z) = 0 * p(0) + 1 * p(1) + 2 * p(2) + ... + (m+n) * p(m+n) M(z) = sum(k=0 to m+n) [k * p(k)] д) Дисперсия D(z) - это сумма квадратов отклонений значений z от математического ожидания M(z) умноженных на соответствующие вероятности P(z): D(z) = sum(k=0 to m+n) [(k - M(z))^2 * p(k)] е) Р(1≤z≤m+1) - это сумма вероятностей P(z') для всех z', где 1≤z'≤m+1: Р(1≤z≤m+1) = P(z=1) + P(z=2) + ... + P(z=m+1)