1. Полиномиальная формула. Задача состоит в доказательстве тождества ;
Шаги решения:
– Разложим левую и правую части формулы по сумме вероятностей;
– Преобразуем левую и правую части дистрибутивным законом;
– Сравним коэффициенты при одинаковых мономах;
– Если коэффициенты совпадают, то тождество доказано.
2. Построение графа по матрице смежности и нахождение степеней вершин. Дана матрица смежности графа (■(0&2&1@2&0&1@1&1&0)). Нужно построить граф и найти степени его вершин.
Шаги решения:
– Строим граф, используя матрицу смежности. Ребро между вершинами i и j существует, если значение в матрице смежности равно единице;
– Для каждой вершины подсчитываем количество инцидентных ей ребер. Это и будет степенью вершины.
3. Булевы формулы и правило произведения. В задаче нужно доказать тождество а) ) и б) .
Шаги решения:
– В начале необходимо раскрыть скобки и упростить выражение;
– Применить правило произведения, перемножая каждый член в одной скобке с каждым членом во второй скобке;
– Если полученные выражения исходных тождеств равны, то тождество доказано.
4. Приведение формулы к КНФ. Дана булева формула . Нужно привести ее к конъюнктивной нормальной форме (КНФ).
Шаги решения:
– Раскрыть скобки, применить законы де Моргана и упростить выражение;
– Привести выражение к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ);
– Сделать дистрибутивное распределение относительно конъюнкции, сгруппировав члены в конъюнктивные группы;
– Каждая группа конъюнкций и будет являться КНФ.
5. Закон двойственности и число независимых событий. В задаче нужно использовать закон двойственности и доказать равенство числа независимых событий P(A∪B) = 1 – P(A’)P(B’).
Шаги решения:
– Используя закон двойственности, заменить каждое событие A на его дополнение A’ и каждое событие B на его дополнение B’;
– Применить формулу вероятности P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B);
– Применить формулу вероятности для дополнений событий P(A’) = 1 – P(A) и P(B’) = 1 – P(B);
– Подставить полученные значения в исходное равенство и упростить выражение.
В каждом задании необходимо применять соответствующие правила и законы, чтобы получить требуемый результат.