a) Для решения этой задачи используем формулу поверхностного интеграла:
∬ (2x + 3)ydq = ∬ (2x + 3) |r_u x r_v| dudv,
где r(u,v) – параметрическое представление поверхности S. В данном случае S – часть цилиндрической поверхности z + x² – 9 = 0, отсечённая плоскостью z = 0 и заключённая между плоскостями y = 2 и y = 6.
Параметрическое представление цилиндрической поверхности: x = r cos(u), y = y, z = r sen(u), где r принимает значения от 2 до 6, u – угол, принимающий значения от 0 до 2π, и y – переменная, ограниченная значениями 2 и 6. Таким образом, параметрическое представление поверхности S будет:
r(u,v) = (v cos(u), v, v sen(u)),
где v принимает значения от 2 до 6, а u от 0 до 2π.
Вычислим частные производные r по u и v:
∂r/∂u = (-v sen(u), 0, v cos(u)),
∂r/∂v = (cos(u), 1, sen(u)).
Вычислим векторное произведение этих векторов:
r_u x r_v = (-v sen(u), 0, v cos(u)) x (cos(u), 1, sen(u)) = (v² sen(u) cos(u), -v sen(u), -v² cos(u)).
Теперь, подставим выражение для r_u x r_v и уравнение S в формулу для поверхностного интеграла:
∬ (2x + 3)ydq = ∬ (2v cos(u) + 3)v (v² sen(u) cos(u), -v sen(u), -v² cos(u)) dudv,
где интеграл берется по переменной u от 0 до 2π и по переменной v от 2 до 6.
b) В данной задаче нужно вычислить поверхностный интеграл ∬ yzdxdy + 5dydz – x²dzdx, где S – нижняя сторона ограниченной части плоскости 3x – 2y + z – 6 = 0, отсечённой координатными плоскостями.
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой поверхностного интеграла:
∬ yzdxdy + 5dydz – x²dzdx = ∬ yz |r_u x r_v| dudv,
где r(u,v) – параметрическое представление поверхности S. В данном случае S – нижняя сторона плоскости 3x – 2y + z – 6 = 0, отсеченная координатными плоскостями.
Построим параметрическое представление поверхности S. Первым шагом найдем две точки, лежащие на данной плоскости. Возьмем координаты (2,0,2) и (0,3,3). Теперь найдем направляющие векторы для двух прямых, проходящих через эти точки и перпендикулярные к плоскости.
Находим векторное произведение векторов (2,0,2) и (0,3,3):
(2,0,2) x (0,3,3) = (-6,-6,6).
Теперь, построим параметрическое представление поверхности S с использованием найденного вектора и двух параметров u и v:
r(u,v) = (2u,3v,2u + 3v + 6).
Теперь вычислим величину |r_u x r_v|:
|r_u x r_v| = |(2,0,2) x (0,3,3)| = 6.
И, перепишем исходный интеграл:
∬ yzdxdy + 5dydz – x²dzdx = ∬ yz * 6 dudv,
где интеграл берется по переменной u от 0 до 1 и по переменной v от 0 до 1.
2. В этой задаче нужно вычислить тройной интеграл x²z²dxdydz, где область V ограничена параболическими цилиндрами y = √x, y = 3√x и плоскостями z=0, x+z=9.
Разбиваем область интегрирования на две части: V₁ и V₂.
V₁ ограничена плоскостями z=0, x=0, y=√x и y=3√x.
V₂ ограничена плоскостями z=0, x=0, y=3√x и y=6.
Для каждой части V₁ и V₂ записываем тройной интеграл и вычисляем его с помощью подходящих замен переменных. При этом учитываем границы интегрирования, которые являются кривыми на плоскости xz и облегчаем вычисления путем перехода в полярные или другие подходящие системы координат.
Получаем значения двух тройных интегралов и складываем их для получения окончательного результата.