Дано уравнение:
10sin^2 x + 17cos x – 16 = 0.
Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрические идентичности и свойства синуса и косинуса.
Шаг 1: Приведем уравнение к форме, в которой будут только синусы или только косинусы. Сначала заменим sin^2 x на 1 – cos^2 x:
10(1 – cos^2 x) + 17cos x – 16 = 0.
Раскроем скобки и упростим:
10 – 10cos^2 x + 17cos x – 16 = 0.
Шаг 2: Перепишем уравнение в квадратном виде и решим его относительно cos x:
-10cos^2 x + 17cos x – 6 = 0.
Шаг 3: Решим получившееся квадратное уравнение:
Используем формулу дискриминанта для нахождения корней: D = b^2 – 4ac.
a = -10, b = 17, c = -6
D = 17^2 – 4*(-10)*(-6) = 289 – 240 = 49.
Дискриминант равен 49, что означает, что уравнение имеет два действительных корня.
Шаг 4: Найдем корни уравнения, используя формулу:
cos x = (-b ± √D) / (2a).
cos x = (17 ± √49) / (-20).
cos x = (17 ± 7) / (-20).
Таким образом, мы получаем два корня:
cos x1 = (17 + 7) / (-20) = 24 / (-20) = -6 / 5.
cos x2 = (17 – 7) / (-20) = 10 / (-20) = -1 / 2.
Шаг 5: Найдем значения синуса для каждого из найденных значений косинуса, используя тригонометрическую идентичность sin^2 x + cos^2 x = 1:
sin^2 x1 = 1 – cos^2 x1 = 1 – (-6/5)^2 = 1 – 36/25 = -11/25.
sin^2 x2 = 1 – cos^2 x2 = 1 – (-1/2)^2 = 1 – 1/4 = 3/4.
Таким образом, у нас есть два значения cos x и два значения sin x.
Ответ: Уравнение имеет два набора решений:
(1) cos x1 = -6/5, sin x1 = -√11/5.
(2) cos x2 = -1/2, sin x2 = √3/2.