Дано уравнение: 2cos(4x) – cos³(x) = 2 – 16cos²(x).
1) Раскроем куб: cos³(x) = (cos(x))³.
2cos(4x) – (cos(x))³ = 2 – 16cos²(x).
2) Заменим cos(4x) через cos(2x):
2(2cos²(2x) – 1) – (cos(x))³ = 2 – 16cos²(x).
4cos²(2x) – 2 – (cos(x))³ = 2 – 16cos²(x).
3) Приведем подобные слагаемые:
4cos²(2x) – (cos(x))³ – 2 – 2 + 16cos²(x) = 0.
4cos²(2x) + 16cos²(x) – (cos(x))³ – 4 = 0.
4(cos²(2x) + 4cos²(x)) – (cos(x))³ – 4 = 0.
4(cos²(2x) + 4cos²(x) – 1) – (cos(x))³ = 0.
4cos²(2x) + 4cos²(x) – 4 – (cos(x))³ = 0.
4cos²(2x) + 4cos²(x) – 4 – cos³(x) = 0.
4cos²(2x) + cos²(x) – 4 = 0.
4) Обозначим cos²(x) за t:
4(2cos²(2x) + t) – 4 = 0.
8cos²(2x) + 4t – 4 = 0.
8cos²(2x) = 4 – 4t.
2cos(2x) = √(4 – 4t) / 2.
cos(2x) = ± √(1 – t).
5) Два случая:
a) cos(2x) = √(1 – t).
b) cos(2x) = -√(1 – t).
6) a) cos(2x) = √(1 – t).
cos(2x) = √(1 – cos²(x)).
cos(2x) = sin(x).
2x = arcsin(sin(x)).
2x = x + 2πk or 2x = π – x + 2πk, где k – любое целое число.
Таким образом, получим два набора решений:
a) x = 2πk или x = π/3 + 2πk.
7) b) cos(2x) = -√(1 – t).
cos(2x) = -√(1 – cos²(x)).
2x = π – arcsin(sin(x)).
2x = π – x + 2πk or 2x = -x + 2πk, где k – любое целое число.
Таким образом, получим два набора решений:
b) x = (π – π/3) + 2πk or x = -π/3 + 2πk.
Итак, решения уравнения: x = 2πk или x = π/3 + 2πk или x = 2πk или x = -π/3 + 2πk, где k – любое целое число.