Для решения данного уравнения, начнем с упрощения обеих сторон:
Начнем с левой стороны уравнения:
(3x + 1)/(x + 2) – 1 = (x – 1)/(x – 2)
Для начала, найдем общий знаменатель. Умножим первое слагаемое левой стороны на (x – 2) и второе слагаемое на (x + 2):
((3x + 1)(x – 2))/(x + 2) – (x + 2) = (x – 1)/(x – 2)
Теперь распространим и объединим числители:
(3x^2 – 5x – 2)/(x + 2) – (x + 2) = (x – 1)/(x – 2)
Распространим вычитание и объединим дроби:
(3x^2 – 5x – 2 – (x + 2)(x – 1))/(x + 2) = (x – 1)/(x – 2)
(3x^2 – 5x – 2 – (x^2 – x + 2))/(x + 2) = (x – 1)/(x – 2)
(3x^2 – 5x – 2 – x^2 + x – 2)/(x + 2) = (x – 1)/(x – 2)
2x^2 – 4x – 4)/(x + 2) = (x – 1)/(x – 2)
Теперь займемся правой стороной уравнения:
(x – 1)/(x – 2)
Также найдем общий знаменатель:
(x – 1)/(x – 2) = ((x – 1)(x + 2))/(x + 2) = (x^2 + x – 2)/(x + 2)
Теперь у нас есть уравнение вида:
(2x^2 – 4x – 4)/(x + 2) = (x^2 + x – 2)/(x + 2)
Теперь умножим обе стороны на (x + 2), чтобы избавиться от знаменателя:
2x^2 – 4x – 4 = x^2 + x – 2
Распространим и объединим члены:
2x^2 – 4x – 4 – x^2 – x + 2 = 0
x^2 – 5x – 2 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации, квадратного корня или квадратного завершения.
Таким образом, мы решаем уравнение (x – 2)(x + 1) = 0. Поэтому x = 2 или x = -1.
Проверим оба значения, подставив их обратно в исходное уравнение:
Для x = 2:
(3(2) + 1)/(2 + 2) – 1 = (2 – 1)/(2 – 2)
(7/4) – 1 = 1/0 (деление на 0 недопустимо)
x = 2 не подходит.
Для x = -1:
(3(-1) + 1)/(-1 + 2) – 1 = (-1 – 1)/(-1 – 2)
(-2)/1 – 1 = -2/-3
-2 – 1 = 2/3
-3 = 2/3 (неверно)
Zначит решений нет.